بررسي عددي انتقال گرماي جابه جايي سيال ويسكوالاستيك در كانال خميده داراي مقطع مربعي

محمود نوروزي*، محمد حسن كيهاني**، محمد رضا حيراني نوبري** و فرهاد طالبي*** دانشكدة مهندسي مكانيك، دانشگاه صنعتي شاهرود دانشكدة مهندسي مكانيك، دانشگاه صنعتي اميركبير دانشكدة فني و مهندسي، دانشگاه سمنان

(دريافت مقاله: ٢٠/٤/١٣٨٨- دريافت نسخه نهايي: ١٧/٩/١٣٨٩)

چكيده- در اين مقاله انتقال گرماي توسعه يافته سيال ويسكوالاستي ك در كانال خمي ده داراي مقطع مربعي بررسي ش ده اس ت. همچنـين از معادلـهمتشكله كريمينال-اريكسون -فيلبيبه عنوان م دل ويسكوالاستي ك استفاده ش ده و انتقال گرماي جريان در حالتهاي شار ثابت و دما ثابت مطالعه شـدهاس ت. در اينجا از روش تفاض ل مح دود براي گسسته سازي معادلات حاك م استفاده ش ده اس ت. همچنين شبكه محاسباتي از نوع شبكه جابهجا ش ده بوده و روش علام تگ ذاري و سلول براي تخصيص پارامترهاي جريان به اين شبكه به كار رفته اس ت. در اينجا براي نخستين بار اثـر كـار ميـدان تـنش سـيالويسكوالاستي ك و ع دد برينكمن اين جريان بر انتقال گرماي جابه جايي در كانالهاي خمي ده بررسي ش ده اس ت. از جمله نتايج قاب ل توجه اين مقاله آن است كه اثر متضاد اختلاف تنشهاي نرمال اول و دوم سيال ويسكوالاستي ك بر ش دت جريانهاي ثانويه و انتقال گرما به اثبات رسي ده اس ت.

واژگان كليدي : انتقال گرماي جابهجايي، سيال ويس كوالاستي ك، م دل سي -اي -اف، كانال خمي ده، مقطع مربعي

A Numerical Investigation of Conductive Heat Transfer of Viscoelastic Fluid in a Curved Square Duct

M. Norouzi, M. H. Kayhani , M. R. H. Nobari and F. Talebi

Mechanical Engineering Department Shahrood Univ. of Tech.
Mechanical Engineering Department Amirkabir Univ. of Tech.
Engineering Faculty Semnan Univ.

Abstract: In this paper, fully developed flow and heat transfer of viscoelastic fluid in a curved pipe with square cross section is investigated. To that end, Criminale-Eriksen-Filbey (CEF) constitutive equation is used as viscoelastic model and heat transfer is
6400822696

* – دانشجوي دكتري ** – دانشيار *** -استاديار
studied at constant heat flux and in constant temperature conditions. Here, the governing equations are discreted using finite difference method. Also, staggered grids are used as mesh, and Marker and Cell method is applied for allocating the flow parameters on staggered grids. Here, the effect of the stress fields’ work of visoelastic fluid and Brinkman number on convective heat transfer inside a curved duct is studied for the first time. Overall, the inverse effect of the first and second normal stress differences on secondary flows intensity and heat transfer is the main result of the current research.

Keywords: Convective heat transfer, Viscoelastic fluid, CEF model, Curved duct, Square cross section.

فهرس ت علائ م
متوسط سرعت محوري جريان اصلي، m/s مولفه هاي سرعت، m/s مولفه هاي سرعت بي بعد بردار سرعت، m/s سرعت مرجع، m/s
مولفه هاي دستگاه مختصات، m مولفه هاي بي بعد دستگاه مختصات
نسبت انحناي كانال خميده كار ميدان تنش، W نرخ برش مرتبه اول، 1-s نرخ برش مرتبه دوم، 2-s نرخ برش مرتبه اول بي بعد نرخ برش مرتبه دوم بي بعد ويسكوزيته، pa.s
مختصه زاويه اي دستگاه استوانهاي چگالي،3kg/m تانسور تنش، pa تانسور تنش بي بعد
ثابت اختلاف تنش نرمال اول 2pa.s ثابت اختلاف تنش نرمال دوم 2pa.s ثابت بي بعد اختلاف تنش نرمال اول ثابت بي بعد اختلاف تنش نرمال دوم U vi
vi = v / Wi0
V W0 = Ga /(16 )2η
xi
xi = x / ai
علائم يوناني
δ= a / (2R)
Φ γ(1) γ(2)
γ(1) =γ(1)a / W0 γ(2) = γ(2)a / W202 η θ ρ τ
τ=τ ηa / W
Ψ
Ψ
Ψ =Ψ11 0W / ( a)η
Ψ =Ψ22 0W /( a)η طول هر ضلع مقطع كانال، m ظرفيت گرمايي ويژه، J/kg.K عدد برينكمن براي حالت شار ثابت BrT عدد برينكمن براي حالت دما ثابت عدد دين بر مبناي سرعت مرجع عدد الاستيك
ضريب انتقال گرماي جابه جايي، .W /m2.K ضريب انتقال گرماي هدايتي، W/m.K عدد ناسلت
فشار استاتيكي، pa فشار استاتيكي بي بعد محيط مقطع كانال، m عدد پرانتل
شار گرمايي، 2W/m
عدد رينولدز بر مبناي سرعت مرجع عدد رينولدز بر مبناي سرعت متوسط شعاع گام كانال خميده، m شعاع گام بي بعد كانال خميده
ماكزيمم سرعت بي بعد جريانهاي ثانويه دماي سيال، K دماي متوسط سيال، K دماي ديواره كانال، K TH دماي بي بعد براي حالت دما ثابت دماي بي بعد براي حالت شار ثابت a c
BrH = η0 0W 2 / (aq )′′
=η0 0W 2 / (k(Tm −T ))w Dn = Reδ1/2 En =Ψ1 / Re h k
Nu = ha / k
P
P = Pa / Wη 0
p′
Pr = η/(ρα)
q′′
Re =ρW a /0η
Reb =ρUa /η
R
R = R / a
Smax
T
Tm =1/ (UA) v TdA

Tw
= (Tw −T)/(Tw −T )m
TT = (T−T )/(q a / k)w′′

١- مقدمه
از سـالها پـيش تـاكنون، مطالعـه جريـان و انتقـال گرمـا در كانالهاي خميده يكي از موضوعات مورد علاقـه محققـان بـودهاست. اين جريان يكـي از جريانهـاي مهـم و پايـه در مكانيـكسيالات محسوب ميشود. هرچنـد تـاكنون تحقيقـات فراوانـيبهصـورت تحليلـي، عـددي و آزمايـشگاهي در خـصوص ايـنجريان انجام شده اما بيشتر اين تحقيقـات مربـوط بـه سـيالاتنيوتني بـوده و تعـداد تحقيقـات صـورت گرفتـه در خـصوصسيالات غيرنيوتني و بـه ويـژه سـيالات ويـسكوالاستيك بـسيارانــدك بــوده اســت. از جملــه كاربردهــاي جريــان ســيالويسكوالاستيك در مجاري خميده ميتوان به خطوط انتقال ايـنمواد در صنايع نفت و پتروشيمي، صـنايع توليـد مـواد غـذايي،توليد مواد شيميايي و شوينده، كاربرد در زيست سيالات، تزريق مواد پليمري و … اشاره كرد.
اولين تحقيق در مورد جريـان سـيالات نيـوتني در مجـاريخميده توسط دين١ [۱ و ۲] و با استفاده از حـساب اخـتلالات٢ انجام شده است. وي نشان داد كه اثر نيروي گريز از مركز ناشياز انحنا منجر به ايجاد جريانهاي ثانويه تيلور-گورتلر٣ ميشـود .
وي عدد دين را به عنوان معيار مناسبي براي اين جريان معرفـيكرد كه اين عدد بهصورت نسبت نيروهاي زير تعريف مي شود:
394716-68378

(١) Dn ≡ CentrifugalViscous×Inertial در واقع عدد دين، همان عدد رينولدز اسـت كـه در آن انحنـايمسير جريان تصحيح شده است. روشي را كـه ديـن بـراي حـلجريان سيال نيوتني ارائه كرد، بعدها توسـط برخـي از محققـان براي مطالعه جريان سيال ويسكوالاستيك در لولـههـاي خميـدهمورد استفاده قرار گرفت. از آن جملـه مـيتـوان بـه تحقيقـاتتوماس و والترز٤ [۳]، را برتسون و مولر٥ [۴] و سارين٦ [۵ و ۶] در خــصوص جريــان ســيال اولدرويــد-بــي٧، جيتچــوت و رابرتسون٨ [۷]، بون٩ و همكاران[۸] و شارما و پراكاش۱۰ [۹] در مورد جريان سيال مرتبه دو و ايمتو۱۱ [۱۰و۱۱] در مورد جريـانسيالات تواني و وايت- متزنر۱۲ در لولههاي خميده اشاره نمود.
مطابق اين تحقيقات، ازدياد عدد وايزنبرگ و خاصيت الاسـتيكسيال سبب افـزايش شـدت جريانهـاي ثانويـه و متمايـل شـدنموقعيت مركز گردابههـا بـه سـمت ديـوارههـاي جـانبي مجـراميشود. همچنين در محلولهاي پليمري با ازدياد زمان رهـايي ازتنش۱۳ محلول، ميزان افت فشار مجرا افزايش مي يابد. هـر چنـداستفاده از حساب اختلالات منجر به پاسـخهاي تحليلـي بـرايجريان سيالات ويسكوالاستيك در لولههاي خميده ميشود، امـادر عمل استفاده از اين روش داراي محدوديتهايي اسـت كـه ازآن جمله مي توان به غيرفيزيكي بودن پاسخهاي اين روش بـراياعداد ديـن بزرگتـر از ۳۰ (كـه عـدد ديـن كـوچكي محـسوبميشود) اشاره كرد [۴]. همچنين بسته به نـوع سـيال و هندسـهجريان، شرايط منفرد١٤ يكي از مسائلي است كه در يافتن پاسـخيكتا براي اين جريان مشكل آفرين است. شايان ذكر اسـت كـهتمامي تحقيقات پيشين به مقطع هندسي مدور محدود بـوده انـد .
با توجه به محدوديتهاي ذكر شده براي روشهاي تحليلي، برخياز محقق ان با استفاده از روشهاي عددي به مطالعـه ايـن جريـانپرداختهاند. ژانگ۱۵ و همكارانش [۱۲] با استفاده از روش المانمحدود جريان سيال اولدرويد-بي را در اعداد دين و وايزنبـرگ بزرگ بررسي كردهاند. فن تين و ژنگ۱۶ [۱۳] نيز مع ادلات خودتشابهي را براي جريان سيال اولدرويد- بي در نسبتهاي انحنـايكوچك ارائه دادند و با اسـتفاده از روشـهاي عـددي و تحليلـيتقريبي اقدام به حل اين معـادلات كردنـد. فـن۱۷ و همكـارانش[۱۴] تحقيقات خود را بر روي جريان توسـعه يافتـه خزشـي واينرسي سيال اولدرويد-بي و اولدرويد سـه ثابتـه در يـك لولـهخميده به انجام رساندهاند. آنها با استفاده از تحليل مرتبه بزرگينشان دادند كه ازدياد اختلاف تنش نرمـال اول منجـر بـه ايجـادتنش نرمال محوري قدرتمندي در جريان ميشـود كـه افـزايششدت جريانهاي ثانويه را در پي دارد. همچنين آنها نشان دادنـدكه اختلاف تنش نرمال دوم منفي داراي اثر معكوسي بوده و بـهكاهش شدت جريانهاي ثانويه منجر ميشود كه ايـن پديـده بـهخوبي با نتايج آزمايشگاهي [۱۵-۱۷] سـازگار اسـت. چـن ۱۸ وهمكارانش [۱۸] نيز تحليل مشابهي را براي جريان در لولههـايخميده چرخان انجام داده اند و داس۱۹ [۱۹] نيـز جريـان سـيالبينگهام را بررسي كرده است. همچنين برخي از محققان جريـاندر مجاري خميده نامدور را مورد بررسي قرار دادهانـد . هلـين ۲۰ [۲۰] و بوتابا۲۱ [۲۱] جريان سـيال فـن- تـين-تنـر ۲۲ را در يـككانال خميده داراي مقطع مربعي مطالعه كردهاند و نـشان دادنـدكه افزايش خاصيت الاستيك سـيال مـيتوانـد بـه تغييـر شـكل

شكل ۱ – هندسه كانال خميده در تحقيق اخير

جريانهاي ثانويه از دو جفت به چهار جفت گردابه منجر شـود.
ژانــگ۲۳ و همكــاران [۲۲] نيــز جريــان توســعه يافتــه ســيالاولدرويد- بي را در يـك كانـال خميـده چرخـان داراي مقطـعمربعي بررسي كـردهانـد . در خـصوص انتقـال گرمـاي اجبـاريسيالات ويسكوالاستيك در كانالهاي خميده تحقيقـات انگـشتشماري صورت گرفته كه از جمله آنها مـيتـوان بـه تحقيقـاتژانگ و همكاران [۲۳] و شن۲۴ و همكاران [۲۴] در مورد انتقالگرماي اجباري سيال اولدرويد-بي اشاره كرد.
در اين تحقيق انتقال گرمـاي اجبـاري توسـعه يافتـه سـيالويسكوالاستيك در يك كانـال خميـده داراي مقطـع مربعـي بـهروش عددي بررسي شده است. در شـكل (۱) هندسـه جريـاننشان داده شده اسـت. در اينجـا از معادلـه متـشكله كريمينـال-اريكسون- فيلبي۲۵ به عنوان مدل ويسكوالاستيك اسـتفاده شـدهكه اين معادله متشكله قادر به مدلسازي اثر هر دو اختلاف تنشنرم ال اول و دوم اس ت. در اينج ا انتق ال گرم اي جري ان در حالتهاي شار ثابت و دما ثابت بررسي شده است. پيشتر جريـاناين سيال در كانالهاي خميده توسط نـوروزي و همكـاران [۲۵] مورد بررسي قرار گرفته است. همانند فان و همكاران [۱۴]، آنها نيز به مطالعه بر روي اثر متضاد اخـتلاف تنـشهاي نرمـال اول ودوم بر ميدان جريان در مجاري خميده پرداخته اند كه مشاهداتآزمايشگاهي نيز بر اين موضوع صحه گذاشـته اسـت [۱۵-۱۷].
در تحقيق حاضر بر اساس پاسخهاي ميدان جريان بهدست آمدهتوسط نوروزي و همكـاران [۲۵] انتقـال گ رمـاي جريـان سـيالويسكوالاستيك در كانال خميده مورد بررسي قرار گرفته اسـت. مهمترين نوآوريهاي تحقيق حاضر عبارتاند از:
در تحقيـق حاضـر بـراي اولـين بـار انتقـال گرمـاي سـيال ويــسكوالاستيك در كانــال خميــده داراي مقطــع نامــدور
(مربعي) مورد بررسي قرار گرفته است.
تحقيق حاضر نخستين تحقيقي به شمار ميآيد كه در آن اثراختلاف تنشهاي نرمال اول و دوم بر انتقال گرماي اجبـاريسيال ويـسكوالاستيك در مجـاري خميـده (اعـم از مقـاطعمدور و نامدور) در حالات شار ثابـت و دمـا ثابـت مطالعـهشده است.
در اين تحقيق براي نخستين بار اثر كار ميـدان تـنش سـيالويسكوالاستيك و عدد برينكمن بر انتقـال گرمـاي اجبـاريجريان اين سيال در مجاري خميده بررسي شده است.

۲- معادلات حاكم
معادلات حاكم بر جريان و انتقال گرماي سيال ويـسكوالاستيكدر مجاري خميـده شـامل معادلـه پيوسـتگي، معـادلات انـدازهحركت و معادله انتقال گرماست:

(۱-۲)

(٢-٢)
ρC V. Tp ∇ = ∇ +Φk2T (٣-٢)
در اين تحقيق، ميدان جريان بـهصـورت توسـعه يافتـه در نظـرگرفته شده است. در جريان توسعه يافتـه در كانالهـاي خميـده،مشتقات كليه پارامترهاي جريان به جز فشار استاتيكي نسبت بهزاويه انحن اي مسير (θ) برابر صفر است. بنابراين بـا توجـه بـهشكل (١ ،) معادله زير براي فشار استاتيكي برقرار است [۴]:

= constan t < 0 (۳)
همچنين گراديان فشار جريان توسعه يافته در كانالهـاي خميـدهبر اساس گراديان فشار در جهت گام مجرا تعريف مي شود [۴]:
10439485493

R1∂∂θP=−G (۴)
در معادله (۴)،G مقدار ثابتي است كه مبـين قـدر مطلـق افـتفشار محوري جريـان اسـت. در اينجـا بـراي بـي بعـد سـازيمعادلات حاكم، از ماكزيمم سرعت جريان توسـعه يافتـه سـيالنيـوتني در كانـال مـستقيم مـدوري كـه داراي گراديـان فـشار، ويسكوزيته و قطر هيدروليكي يكساني نسبت به جريـان تحـتبررسي است، به عنوان سرعت مرجع استفاده شده است [۴]:
42141390257

W0 = Ga16η2 (۵)
همچنين در جريـان توسـعه يافتـه سـيال نيـوتني در يـك لولـهمستقيم گراديان فشار بي بعد محوري برابـر ۱۶- اسـت . در بـيبعد سازي معادلات حاكم، سرعت مرجع بر اساس فرض برابـربودن گراديان فشار جريان در جهت گام كانال خميده با گراديانفشار يك جريان نيوتني در لوله مـستقيم (مقـدار ١٦-) تعريـفشده است. بنابراين از كميتهاي بـي بعـد ارائـه شـده در بخـشفهرست علائم و معادله (٤)، معادله زير براي گراديان فشار بـيبعد جريان توسعه يافته در كانال خميده بهدست مي آيد [۴]:

∂∂Pθ =−16R =−

8δ (٦)
در نهايت براي جريان دائمي توسعه يافته هر سيال تراكم ناپذيردر كانال خميده، صورت بي بعد معادلات پيوسـتگي و مـومنتم در دستگاه مختصات استوانهاي به شكل زير خواهد بود:
78028881853

17145081853

1r ∂∂rr +∂∂vzz = (١-٧)
(rv )0

r ∂vθ + z ∂vθ + v vr
vvθ =
∂r∂zr
310896-172723

1606296193036

1 ⎛161 ∂2∂τzθ ⎞ (٢-٧)
(r τ ) Re ⎜⎝ rδ + r2 ∂r rθ + ∂z ⎠⎟
∂v∂vv 2
vr

vzθ
324612165333

1 ⎛ ∂P ∂τrr + ∂τrz + τ −τrrθθ ⎞ (٣-٧)
Re ⎜⎝− ∂r + ∂r∂zr⎟⎠
r ∂vz + z ∂v =
vvz
285750-191565

1538478164288

1∂r⎛⎜−∂P +∂1z ∂ τ +rz∂τzz ⎞ (٤-٧)
(r)⎟ Re ⎝ ∂zr ∂r∂z ⎠
همچنين شرط مرزي عدم لغـزش بـر روي ديـوارههـا و شـرطتقارن بر روي مرز تقارن براي مولفههاي سرعت برقـرار اسـت.
در اين تحقيق به دليل استفاده از شبكه جا به جا شده نيازي بـهاعمال شرط مرزي براي فشار استاتيكي نيست.
از آنجا كه در اين تحقيق انتقال گرماي توسـعه يافتـه سـيالويسكوالاستيك در دو حالت شار ثابت و دما ثابت بررسي شده،لذا براي هر يك از اين دو حالت گرمايي، بي بعد سازي مناسبو البته متفاوتي ارائه شده كه در ادامه به آن پرداخته مي شـود در.
حالت توسعه يافته گرمايي معادله زير براي توزيع دما در كانـالخميده برقرار است [۲۳و۲۴]:
10362858996

∂θ∂ ⎛⎝⎜⎜T TT Tss−−m ⎞⎠⎟⎟ = 0 (۸)
همچنين دماي بي بعد در حالت شار ثابت (TH ) به شـكل زيـرتعريف شده است [۲۶]:
40539176230

TH = Tq a / k′′−Tm
شايان ذكر است كـه چنانچـه طـرفين معادلـه فـوق در سـرعتمحوري ضرب و حاصل آن در سطح مقطع كانال انتگرال گيريشود، معادله زير براي متوسط دماي بي بعد در حالت شار ثابتحاصل ميشود:
∫v T dA 0θ H =
A
مي توان نشان داد كـه در حالـت شـار ثابـت معادلـه زيـر بـرايگراديان فشار محوري برقرار است [۲۶]:
10515782818

∂θT= dTdθs = dTdθm =

ρ4Uacq R′′p = cte∂ بنابراين با اعمال معادله (١١) در معادلـه (٢-٣) و بـا توجـه بـهپارامترهاي بي بعد ارائه شده در فهرست علائم، معادله بي بعـد انتقال گرمايي توسعه يافته در حالت شار ثابت بهدست مي آيد:
272796-50449

1108715107135

r ∂TH + z ∂TH + v v v=
256039163176

1419607163176

1 ⎜⎛1 ∂ ⎜⎛ ∂TH ⎞+ ∂2TH ⎟⎞+Φ (١٢)
⎜ ∂r⎟2 ⎟ Br
RePr r r⎝⎝∂r ⎠∂z⎠
در معادله فوق،Reb معرف عدد رينولـدز بـر اسـاس سـرعتمتوسط جريان است. همچنين شرط مرزي شـار ثابـت بـر روي ديوارههاي كانال برقرار است. اين شـرط بـراي دمـاي بـي بعـدتعريف شده در معادله (٩) به شكل زير است:
∂TH =−
∂n1 (١٣)
شايان ذك ر است كه حل يـك معادلـه مـشتقات جزيـي تنهـا بـااستفاده از شرط مرزي نيومن بر روي تمامي مرزها ميـسر نبـودهو به تعيين عرض از مبدا منجر نمـيشـود . لـذا چنانچـه معادلـه(۱۲) در شرايط نادائمي حل شـود، پاسـخ دائـم آن وابـسته بـهشرايط اوليه است. بنابراين پس از حل معادلـه فـوق در شـرايطنادائمي و يافتن پاسخ حالت دائمي لازم است كه عرض از مبداميدان دما از معادلـه (۱۰) تعيـين شـود. همچنـين بـا توجـه بـهمعادله (۹)، ميتوان نشان داد كه معادله (۱۴-۱) بين دمـاي بـيبعد در سطح كانال (TH,S ) و عدد ناسلت موضعي برقرار بـودهو عدد ناسلت متوسط نيز از معادله (۱۴-۲) تعيين مي شود:
NuH =

TH,S1 (١-١٤) NuH,m =

p1′ ∫Nu dpH ′ (٢-١٤)
p′
در اين تحقيق، دماي بي بعد براي حالت دما ثابت به شكل زيـرتعريف مي شود [۲۶]:
45491472412

TT = TTss−−TTm (۱۵)
بـا ضـرب كـردن سـرعت محـو ري در طـرفين معادلـه ف وق و انتگرال گيري در سطح مقطع جريان، معادله زير حاصل مي شود:
178308150771

Wo
UA ∫ v T dAθ T=1 (۱۶)
A
همچنين ميتوان نشان داد كه در شرايط حرارتـي توسـعه يافتـهمعادلات زير براي حالت دما ثابت برقرار است:
dTdθm =

2k(Tsρ−Uc aT )NumpδT,m (١-١٧)



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید