معرفي يك روش چند بلوكي بهبود يافته براي جريانهاي اغتشاشي

محسن گودرزي* و پيمان لشگري** دانشكدة مهندسي مكانيك، دانشگاه بوعلي سينا

(دريافت مقاله: ٢٩/٥/١٣٨٧- دريافت نسخه نهايي: ١٩/١٢/١٣٨٨)

چكيده – در بسياري از جريانهاي اغتشاشي بخش عم ده اي از مي دان جريان داراي پيچي دگيهاي زيادي براي م دلسازي اغت ـشاشي ني ـس ت. ب ـهمنظور كاهش زمان محاسباتي و حافظه رايانهاي، با بلو كبن ديمي دان جريان از م دلهاي اغتشاشي مختلف در هر بلو ك استفاده ش ده اس ت. هن دسه مورد نظر در اين تحقيق ي ك پله عقبگرد دو بع دي اس ت. از چهار تركي ببن دي حاص ل از دو م دل اغتشاشي جبري طول اختلاط پرانت ل و م دلk−ε
استان دارد در بلوكها استفاده ش ده اس ت. حافظه مصرفي رايانه و زمان محاسباتي به همراه رون د همگرايي و نيز دق ت نتايج ع ددي حاص ـ ل ش ـ ده ازچهار تركي ب به كار گرفته ش ده بررسي ش د. نتايج نشان داد كه در صورت انتخاب تركي ب مناسبي از م دلهاي اغتشاشي در بلوكها با صرف زمـان وحافظه كمتر ميتوان پيشبينيهايي در ح د دق ت نزدي ك به حال ت استفاده از م دل اغتشاشي مرتبه بالا در تمامي بلوكها بهدس ت آورد.
واژگان كليدي : روش چن دبلوكي، م دل سازي اغتشاشي، حافظه رايانه اي، زمان محاسباتي

Introducing an Improved Multi-block Method for Turbulent Flows

M. Goodarzi and P. Lashgari

Faculty of Engineering, Bu-Ali Sina University

Abstract: A major part of the flow field has no complicated turbulent behavior in many turbulent flows. In order to reduce memory and CPU time, the flow field was decomposed to several blocks in which different turbulence models were employed. A two dimensional backward facing step was considered in this research. Four combinations of the Prandtl mixing length and standard k-ε models were implemented. In addition to the numerical convergence and accuracy of the results obtained, computer memory usage and CPU time consumption were investigated. Comparisons showed that employing a suitable combination of the turbulence models for individual blocks led to the results which were as accurate as those resulting from the application of high order turbulence model for all of them. The results revealed that the memory usage and CPU time were considerably decreased.

86106145385

Keywords: Multi-block method, Turbulence modeling, Computer memory, CPU time.
* – استاديار ** – كارشناسي ارشد
شمارة
فهرس ت علائ م
محور مختصات
استهلاك انرژي اغتشاشي ويسكوزيته اغتشاشي ويسكوزيته مؤثر
فاصله مركز سلول با وجه آن كميت فيزيكي جريان چگالي سيال y ε
µt
νeff
δ φ
ρ ثابت مدل اغتشاشي انرژي اغتشاشي طول اختلاط فشار استاتيك
مؤلفة سرعت در جهت x مؤلفة سرعت در جهت y محور مختصات Cµ k
lm p u v x

روش چنــدبلوكي بــراي پــردازش مــوازي بــه تحقيقــاتدريكاكيس [٤] براي حل جريان تراكمناپذير سه بعـدي درونكانال با خم ٩٠ درجه و حل عـددي جريـان تـراكمناپـذير دوبعدي حول ايرفويـل NACA0012 بـا شـبكهبنـدي متحـركتوسط تساي و همكارانش [٥]، مي توان اشاره كرد.
در تمام كارهاي انجام شده به روش چند بلـوكي بـا يـكپردازشگر يـا چنـد پردازشـگر، معـادلات حـاكم و روشـهايميانيابي كميتها در نقاط شبكه اي براي كليه بلوكها يكسان بوده است. كيم و همكارانش [٦]، براي غلبه بر مـشكل شكـستگيشبكه در نوك و انتهاي ايرفويل از روش چند بلـوكي اسـتفادهكردند. ايشان در مرز بين بلوكها از روش ميانيابي پيـشرو يـاپسرو متغيرهاي جريـان را در شـكل منفـصل شـده معـادلاتمحاسبه كردند . استفاده از روش ميانيابي متفـاوت در مرزهـايبين بلوكها به عنوان نوآوري اين كار تحقيقـاتي معرفـي شـده ١- مقدمه
يكي از روشهاي حل عددي جريان سيال، روش چندبلوكياست. در اين روش، ميدان جريان به نواحي يـا بلوكهـاي مجـزاتقسيم شده و در هر بلوك شبكه مناسب توليـد مـيشـود . حـلميدان ج ريان از حل همزمان معادلات حاكم در تمام بلوكهـا بـابه كارگيري شرايط مرزي در مرزهاي كل ميدان و مرزهاي بـينبلوكها حاصل ميشود. بـه خـصوص اگـر از سيـستم پـردازشموازي استفاده شود محدوديت تعداد نقاط شبكه كمتر شده كـهباعث كاهش چشمگير زمان انجام حل معادلات و حافظه مـورد نياز ميشود. از مهمترين ويژگيهاي اين روش بـه توليـد شـبكهسازمان يافته بـر روي هندسـههـاي پيچيـده و امكـان پـردارشموازي ميتوان اشاره كرد.
شبكههاي سازمان يافته چندبلوكي در دهه هشتاد مـيلادي،به دنياي ديناميك سيالات عددي پا گذاشت. مقاله ويـدريل و
فورسي [١] در كنفرانس ديناميك سـيالاتAIAA سـال ١٩٨٤، است.
براي اولين بار توجه همه را به روش چندبلوكي سازمان يافتـه حل عددي جريانهاي مغشوش به مدلسازي اغتشاشات نيـاز
دارد. مدلهاي اغتشاشي مختلفي براي جريانهاي گوناگون معرفيو به كار گرفته شدهاند. مدلهاي جبري سـاده تـا مـدلهاي تـنشرينولدز مرتبه بالا همگي معادلاتيانـد كـه بـه همـراه معـادلاتپيوستگي و اندازه حركت بايد حـل شـوند. اسـتفاده از مـدلهاياغتشاشي مرتبه بالا مستلزم حل معادلات بيشتري خواهد بود كهدر ايــن صــورت عــلاوه بــر افــزايش زمــان محاســباتي، جلب كـرد. آتكينـز [٢] تركيبـي از روش چنـدبلوكي و چنـدشبكه اي را براي حـل معـادلات اويلـر و نـاوير اسـتوكس بـاتقريب لايه مرزي نازك و مدل اغتشاشي بالدوين لوماكس بـهكار برد . حيدري و طيبي رهني [٣] براي شـبيهسـازي جريـانمافوق صوت مغشوش حول اجسام مـدور، روش چنـدبلوكيبا مرز بلوكي انطباقي را بـه كـار بردنـد. در زمينـه اسـتفاده از

شكل ۱- ابعاد كانال با پله شكل ۲- بلوك بندي ميدان جريان

حافظـه رايان هاي بي شتري ه م م ورد ني از اس ت. اس تفاده از ابررايانهها و يا پردازش مـوازي راه حلـي بـراي غلبـه بـر ايـنمحدوديتهاســت. امــا امــروزه محققــ ان بــه دنبــال روشــهايساده ترياند كه هزينه آنها از نظر سخت افـزاري پـايين باشـد وبتوان با يك رايانه شخـصي حـل عـددي مناسـبي از ميـدانهايجريان پيچيده به دست آورد.
بسياري از جريانهاي اغتشاشي بـه گونـه اي هـستند كـه دربخش وسيعي از آنها پيچيدگي جريان به حـدي كـم اسـت كـهمدلهاي اغتشاشي مرتبـه پـايين بـه خـوبي رفتـار اغتـشاشي آنقسمت را پيش بيني مـيكننـد و نيـازي بـه اسـتفاده از مـدلهاياغتشاشي مرتبه بالا و پر هزينه ندارند. در ايـن گونـه از جريانهـاتنها بخش كوچكي از ميدان جريان داراي پيچيدگيهاي اغتشاشي زياد است و فقط در اين بخـش از جريـان بـه مـدل اغتـشاشيمرتبه بالا نياز است.

٢- معرفي روش عددي
روش عددي بهبود يافته را مـيتـوان بـا در نظـر گـرفتن يـكهندسه خاص براي ميدان جريان به عنوان هندسه مورد مطالعه بهترتوضيح داد. در اين تحقيق جريان اغتشاشي عبوري از روي يك پله عقب گرد كه داراي نـواحي متفـاوتي از نظـر ميـزان پيچيـدگيهاياغتشاشي است، مورد توجه قرار گرفته و روش عددي بهبود يافتـهبراي شبيه سازي عددي آن توصيف و به كار گرفتـه شـده اسـت.
بدين ترتيب گامهاي اساسي براي معرفي روش عددي به صـورتمرتب زير قابل بررسـيانـد . ايـن كانـال دوبعـدي توسـط كـيم وهمكارانش [٧] به صورت تجربي مورد مطالعه قرار گرفتـه اسـت.
شكل (١) ابعاد اين كانال را نشان ميدهد.
معـادلات حـاكم بـر جريـان دوبعـدي دائـم تـراكم ناپـذير مغشوش با در نظر گرفتن مفهـوم ويـسكوزيته اديهـا بـه شـكلزيرند [٨]:
معادله پيوستگي: (١) xy

معادله اندازه حركت در جهتx :
11049255076

u ∂∂ux + v ∂∂uy =−ρ∂1 ∂xp +νeff (∂∂x2u2 +∂∂y2u2 ) (٢) : y معادله اندازه حركت در جهت
11049255047

10012701252912

(٣) u ∂∂xv + v ∂∂vy =−ρ ∂1 ∂py +νeff (∂∂x2v2 +∂∂y22v) كــه در آنu وv مولفــههــاي ســرعت در جهــات دســتگاهمختصات،p فشار استاتيكي،ρ چگالي وνeff ويسكوزيته كـلهستند. مقـدار ويـسكوزيته كـل برابـر بـا مجمـوع ويـسكوزيتهمولكولي و ويسكوزيته اديهاست (νeff = µ+µρ t ).
به معادلات فـوق بايـد معـادلات مربـوط بـه مـدل سـازياغتشاشات را اضافه كرد كه در اين تحقيق از مدل طول اختلاطپرانتل [٩] به عنوا ن يك مدل اغتشاشي مرتبـه پـايين و از مـدلk −ε استاندارد [١٠] به عنوان يك مدل اغتـشاشي مرتبـه بـالااستفاده شده است.
با توجه به هندسه جريـان بايـد آن را بـه سـه بلـوك مجـزاتقسيم كرد . شكل (٢) نحوه بلوكبندي ميـدان جريـان را نـشانميدهد. در بلوك اول صرفﹰا يك جريان برشي برقرار بـوده و درگذر از روي پله بـه علـت اينرسـي حركتـي سـيال يـك ناحيـهجدايش جريان در بلوك سوم قابل پيش بيني اسـت. شـكل (٣) به صورت نمادين خطـوط جريـان را نـشان مـيدهـد . خطـوطجريان در بلوك دوم نيز تا حد زيـادي رفتـار جريـان برشـي را

شكل ٣- پيش بيني خطوط جريان و مكانيزمهاي اغتشاشي در مناطق مختلف ميدان جريان

خواهند داشت، اما ناحيه جدايش ايجـاد شـده در بلـوك سـومپيچيدگي پديدههاي اغتشاشي اين ناحيه را افزايش ميدهد.
براي شبيه سازي پديدههاي اغتشاشي نواحي بـا رفتـار لايـهبرشي از مدل اغتشاشي طول اختلاط پرانتل ميتوان بهره گرفتكه با دقت مناسبي اين جريانها را توصـيف مـيكنـد . امـا بـرايناحيه جدايش جريـان اسـتفاده از مـدل طـول اخـتلاط پرانتـلمناسب نبوده و بايد از مدلهاي اغتـشاشي مرتبـه بـالاتر اسـتفادهكرد. هرچند كه مدلk −ε استاندارد براي پـيش بينـي نـواحيجدايش جريان خيلي مناسب نيست اما چون هدف اين تحقيـقمعرفي يك روش عددي با تركيب مدلهاي اغتشاشي در بلوكهـابه منظور كاهش حافظه رايانهاي و زمان محاسبات است، از اينمدل براي شبيه سازي استفاده شده است.
هر بلوك با مرزهايي احاطه شده كه شرايط مرزي را بر حل عددي آن بلوك تحميل ميكند. در مرزهاي شامل ديوار صـلباز شرط عدم لغزش به همراه قانون ديوار استفاده شده است. در بلوك (١) يك مرز ورودي جريان وجود دارد كه توزيع سرعتو كميتهاي ديگر جريان در آن مشخص شده است [٧]. در مـرزخروجي كانال كه شامل دو بلوك (٢) و (٣) مـي شـود از شـرطجريان توسعه يافته استفاده شده است. مهمترين مس ئله در روشعددي حاضر نحوه مرتبط كـردن و تبـادل كميتهـاي اغتـشاشيمتفاوت بين دو بلوك مجاور در مرز آنهاست.
معادلات حاكم در بلوكهـا بـا الگـوريتم سـيمپل [١١] و درشبكه تلفيقي حـل شـدهانـد . مقـدار كميتهـاي جريـان در روي

شكل ٤- سلولهاي دو بلوك در مجاورت مرز مشترك

مرز مشترك بلوكها با ميانيابي خطي محاسبه شده است. شـكل (٤) دوسلول مجاور مرز مشترك بين دو بلوك مجاور را نشان مي دهد.
با توجه به ابعاد مشخص شده روي شكل و كميتهاي هندسي آن ازرابطه عمومي زير براي ميانيابي كميتها استفاده شده است
ϕ =M δ ϕ +δ ϕB A A Bδ +δA B (٤)
بسياري از محققان از اين رابطه كه داراي دقت مرتبه دوم اسـتبراي ميانيابي مقادير روي مرز مشترك بلوكها استفاده كـردهانـد . البته براي جلوگيري از مشكل نواسانات احتمـالي (نـه حتمـي) چند راهكار مورد استفاده قرار ميگيرد. اولين راهكار اين اسـتكه مرز بين بلوكها بايد جايي انتخـاب شـود كـه ناپيوسـتگي دركميتهاي ميداني جريان وجود نداشته باشد. در بلوكبندي ميدان جريان مورد مطالعه به اين موضوع توجه شده اسـت. در ضـمنميدان جريان يكنواخت به عنوان حدس اوليه در تمام سـلولهايبلوكهاي سه گانه انتخاب شد كه از بروز ناپيوستگيهاي اوليه نيزجلوگيري شود.
دومين راهكار اين است كه روش ميانيـابي بـراي سـلولهايمجاور مرز مشترك بلوكها مرتبـه اول انتخـاب شـود تـا انـدكيخاصيت استهلاكي در اين منطقه حاصل شود. در روش عـدديبه كار رفته در اين تحقيق از روش پيوندي مرتبه اول در مجاورمرز بلوكها استفاده شد تا اين تأثير استهلاكی ايجاد شود. عـلاوهبر تمهيـدات فـوق اسـتفاده از ضـرايب زيـر تخفيـف مناسـبميتواند از نوسانات احتمالي جلوگيري كند. در تحقيـق حاضـربه علت مقايسه زمانهـاي محاسـباتي از ضـرايب زيـر تخفيـفيكسان براي حالتهاي چهارگانه استفاده شده است. با ايـن حـالدر روند ابتدايي حل عددي و قبل از رسيدن به جوابهاي همگرانوسانات كوچكي در مرز بلوكها مشاهده مي شد.
روشهاي ديگري نيز توسط محققان توصيه شده است كـه ازجمله آنها ميتوان به روشهاي بالاوزش در مـرز بلوكهـا اشـارهكرد كه در اين تحقيق نيازي به آن احساس نشد و براي سادگيبرنامه نويسي از آنها استفاده نشد. ليكن در مواردي كـه مـشكلاحتمالي نوسانات بروز می كند به جاي رابطـه (٤) از روشـهاياستهلاكي مناسب براي ميانيابي در مرز مشترك بلوكها می تـواناستفاده كرد.
اگ ر در دو بل وك مج اور از دو م دل اغت ش اشي متف اوت استفاده شده باشد، بايد به هنگام تبادل اطلاعات در مرز مشتركاين دو بلوك كميتهاي اغتشاشي يك بلوك به كميتهاي اغتشاشي بلوك مجاور آن تبـديل شـود تـا بتـوان از رابطـه ميانيـابي (٤) استفاده كرد . براي اين كار بايد از روابط مدلهاي اغتشاشي بهـرهگرفت. در مورد دو مدل اغتشاشي مورد نظر اين تحقيق ميتوان به رابطه بين ويسكوزيته اغتشاشي (µt ) و طول اخـتلاط (lm) مراجعه كرد [٩]
577596-102529

µ =ρtlm dudy
كه در آنu مؤلفه سرعت به موازات ديواره وy فاصله عمـودياز ديوارند. همچنين طو ل اخـتلاط هـم از رابطـه زيـر محاسـبهمي شود
lm =αy
كهα بر حسب فاصلهy تعيين ميشود [٩]. انرژي اغتشاشي k و نرخ استهلاك اغتشاشاتε توسط روابـط زيـر بـه ويـسكوزيتهاغتشاشي و طول اختلاط مرتبط ميشوند [١٢]
µ =ρtCµ k2
ε
3
2
k

ε

3

2

k

lm = Cµ ε
كه در آنCµ داراي مقدار ٠٩/٠ است [١٠]. بـا در نظـر گـرفتنروابط (٥، ٧ و ٨) ميتوان انرژي اغتـشاشات و نـرخ اسـتهلاكانرژي اغتشاشي را از روابط زير بر حـسب گراديـان سـرعت وطول اختلاط محاسبه كرد
k = lm2(

dudy)2 (٩)
ε= C lµ m2(

dudy)3
بنابراين اگر در بلوكA از مدل طول اختلاط استفاده شده باشدروي مرزهاي آن از جمله مرز مشترك با بلوك مجاور به مقاديرمرزي طول اختلاط نياز است. حال اگر در بلوك مجاور از مدلاغتشاشيk −ε استفاده شده باشد، بـراي تعيـين مقـادير طـولاختلاط ر وي مرز بلوكA بايد ابتدا از رابطه (٨) طول اخـتلاطرا در سلول مجاور مرز در بلوكB محاسـبه كـرد و سـپس بـهكمك رابطه (٤) آن را در روي مرز مـشترك ميانيـابي كـرد. بـرعكس براي تعيين مقاديرk و ε در مرز مشترك بلوكB ابتدا بـهكمك روابط (٩ و ١٠) اين مقادير را در سـلول مجـاور مـرز دربلوكA محاسبه كرده و سپس بـا رابطـه (٤) ايـن مقـادير رويمرز بلوك B ميانيابي ميشوند.
از آنجا كه شبكه مورد استفاده در بلوكها شبكههـاي تلفيقـيبودهاند از روش راي و چو [١٣] براي ايجاد درگيري بين ميدانسرعت و ميدان فشار استفاده شده است. اعمـال روش فـوق در مرز مشترك بلوكها با توجه به شكل (٤) و با اندكي تغيير توسطرابطه زير صورت گرفته است
uM [uA (∂pδB
A
AB
A
)]
x
=


δ+δ
δ

A

AB



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید