حل عددي جريان جابهجايي آزاد گذرا حول كره با استفاده از
DQ-IDQ روش

محمد مقيمي اردكاني* و مهران عامري** بخش مهندسي مكانيك، دانشگاه شهيد باهنر كرمان

(دريافت مقاله: ١٨/٨/١٣٨٨- دريافت نسخه نهايي: ٢٧/٩/١٣٨٩)

چكيده – در اين مقاله، كارايي روش مربعات ديفرانسيل (DQM) و روش مربعات ديفرانسيل ت كه اي (IDQM) در ح ل مسايل جابهجايي آزاد گ ذرابر روي كره بررسي ش ده اس ت. بنابراين ه م بر روي دامنه م كاني و ه م بر روي دامنه زماني از قوانين روش مربعات ديفرانسيل استفاده ش ده اس ـ ت .
نشان داده ش ده اس ت كه ش كستن ك ل بازه زماني شديدا كارايي اين روش را تقوي ت ميكن د. شايان ذكر اس ت كه اين الگ ـوريت م ت ـا كن ـون ب ـر رويمسايل جريان جابهجايي گ ذرا استفاده نش ده اس ت؛ استفاده از اين الگوريت م اولين تلاشي اس ت كه براي نشان دادن مزيته ـاي ايـن روش در ح ـ لجريان جابهجايي آزاد گ ذرا انجام ش ده اس ت. نتايج اين تحقيق دو مزي ت روش مربعات ديفرانسيل ت كه اي نسب ت ب ـه س ـاير روش ـهاي مرس ـوم دراين گونه مسايل نشان ميده د: پاي داري بي قي د و شرط و ح داق ل هزينه محاسباتي. براي اين منظور، همگرايي مسئله بررسي ش ده و براي م ـوارديكه جواب آنها موجود اس ت، مقايسه بين نتايج انجام گرفته اس ت.

واژگان كليدي : مربعات ديفرانسي ل، مربعات ديفرانسيل ت كهاي، جابه جايي آزاد، گ ذرا

Numerical Solution of Transient Free Convection Using
DQ-IDQ Method around Sphere

M. A. Moghimi and M. Ameri

Mechanical Engineering Department, University of Shahid Bahonar, Kerman, Iran

Abstract: The applicability of the differential quadrature method (DQM) and incremental differential quadrature method
(IDQM) in solving the unsteady free convection flow over a sphere is investigated in this paper. The rules of DQ method are used in both Spatial and temporal domains. Also, it is shown that splitting the total temporal domain greatly enhances the

640084476

* -كارشناسي ارشد ** – دانشيار
performance of method. It is worth mentioning that this is the first attempt in using these methods for modeling of transient convective fluid flow. Two advantages of IDQM over the conventional methods are shown through the results of this study, which are: (1) unconditional stablity & (2) minimum computational effort required. For this purpose, the convergence study is performed and for the cases that a solution is available, comparison is done.
١- مقدمه
گسسته سازي عددي معادلات پاره زمـان منـد بـه دو بخـشتقسيم مي شود، گسسته سازي مكاني و گسسته سازي زمـاني. در گسسته سازي مكاني روشهاي بسياري توسـط محققـان اسـتفادهمي شود، كه از آن جمله مي توان بـه روشـهاي تفاضـل محـدود، اجــزاي محــدود، حجــم محــدود، طيفــي۱ و روش مربعــات ديفرانسيل(DQM) اشاره كرد. از ميان اين روشها سه روش اولجزو روشهاي مرتبه پـايين بـه حـساب مـي آينـد در حـالي كـهروشهاي طيفي و مربعات ديفرانسيل به عنـوان روشـهاي مرتبـه بالا شناخته مي شوند. روشهاي مرتبه پايين براي بهدسـت آوردندقت كافي در محاسـبات نيازمنـد تعـداد گـره هـاي محاسـباتيبسيارياند. اين در حالي است كه در روشهاي مرتبه بـالا، حتـيبا استفاده از تعداد گره هاي محاسباتي كم نيـز، نتـايج عـددي ازدقت خوبي برخوردار است. روش مربعات ديفرانسيل نخـستينبار توسط بلمن و همكاران [۱و۲] ارايه شد و پس از آن توسـطشو و همكاران [۳-۶] در زمينه بهبـود محاسـبه ضـرايب وزنـيگامهاي بهسزايي برداشته شد. اين روش در دامنههـاي مـنظم بـاتعداد گره هاي كـم و هزينـه محاسـباتي پـايين قـادر بـه يـافتنجوابهاي عددي با دقت بسيار زياد است[۶]. بـراي اعمـال ايـنروش در دامنه هاي نـامنظم مـي بايـست در صـورت امكـان بـهنگاشتها در تصوير كردن دامنه نامنظم به دامنه منظم استفاده كرد.
در مسايل سازهاي و ارتعاشات از روش مربعات ديفرانـسيل بـهطور گسترده اي استفاده شده است[۷-۱۰]. همچنـين ايـن روشبراي حل عددي معادلات ناوير-استوكس تراكم ناپذير دوبعدي،با استفاده از روابط ورتيسيتي- تابع جريان (ω,ψ ) در دامنه هاي منظم و با استفاده از نگاشتها در دامنه هاي نامنظم، بهطور موثر وبا راندمان محاسباتي بالا بهكار گرفته شده است[۱۱-۱۷]. اما بـه
Keywords: DQM, IDQM, Free Convection, Transient.

هر حال، بهدليل عدم وجود يك رابطه انتقـال بـراي فـشار و يـايك رابطه براي فشار در معادلات ناوير-استوكس تراكم ناپـذيربا متغيرهاي اوليه و همچنين عدم وجود يك مكانيزم بالادستي۲ در اين روش، روش مربعات ديفرانسيل با گستردگي زياد بـرايحل عددي مسايل مرتبط با جريـان سـيال مـورد اسـتفاده قـرارنگرفته است . اما براي حل اين دومشكل كارهاي بـسيار خـوبيانجام شده است[۱۸و۱۹].
در مقايسه با گسسته سازي مكاني، توجه كمتري نـسبت بـهگسسته سازي زماني انجام گرفته است. در اكثر مسايل گذرا كـهروش مربعات ديفرانـسيل بـر روي آنهـا اعمـال شـده اسـت ازمربعات ديفرانسيل براي گسسته سازي دامنه مكاني استفاده شـدهاست و از روشهاي مختلف تفاضل محـدود در گسـسته سـازيدامنه زماني استفاده شده است. اين روشها تحت عنوان روشهايمربعات ديفرانـسيل هيبريـدي۳ شـناخته مـيشـوند [۲۰و۲۱]. از جمله مهمترين معايب روشهاي مربعـات ديفرانـسيل هيبريـديناپايداري آنهاسـت[۲۲]. بنـابراين محققـان بـهفكـر اسـتفاده ازروشـهاي مربعـات ديفرانـسيل غيرهيبريـدي افتادنـد، از جملـه بهروزترين وكاراترين اين روشها ميتـوان بـه تركيـب مربعـاتديفرانسيل تكه اي(IDQ) با مربعات ديفرانسيل(DQ) اشاره كرد.
ايده روش مربعـات ديفرانـسيل تكـه اي در سـال ۲۰۰۶ توسـطهاشمي و همكاران [۲۳] بهكار گرفته شـده اسـت. بـدليل نوپـابودن ايده اين روش تعداد مقالات در اين زمينه محـدود اسـت.
به هر حال از اين روش در حل عـددي مـسايل انتقـال گرمـايهدايت گذرا استفاده شده است[۲۴-۲۶]. اين روش با تكه تكـهكردن دامنه محاسباتي بر زير دامنـه هـا و اعمـال روش مربعـاتديفرانسيل بر هر زير دامنه به بالابردن كارايي ايـن روش كمـكشاياني مي كند. اين روش در مـسايلي كـه گراديـان متغيرهـا دربازهاي از دامنه اصلي داراي تغييرات شديدي باشـد، از اهميـتويژه اي برخوردار است.
از طرفي مسئله جابهجـايي آزاد بـه عنـوان مـسئله رايـج درت شخيص ك ـارايي الگوريتمه اي ع ددي پي شنهادي، اس تفادهمي شود. علت اين امر وابسته بـودن معادلـه مـومنتم بـه معادلـهانرژي از طريق نيروي بويانسي است. از طرف ديگر، بـا توجـهبه اينكه اين الگوريتم تا كنون بر روي مسايل جريان جابهجـاييگذرا استفاده نشده است؛ در اين مقاله،به منظور اثبات كـارايي ودقت الگوريتم عددي تركيبي پيشنهادي، مسئله جابـه جـايي آزادگذرا در اطراف كره بررسي شده است.
در زمينه جابهجايي آزاد در اطراف كره پژوهشهاي بـسياريانجام شده است[۲۷-۲۹].از جمله آخرين كارهـايي كـه در ايـنزمينه انجام شده است ميتوان به مقيمي و همكاران [۳۰] اشارهكرد كه جريان جابهجايي آزاد مگنتو هيدرو ديناميك اطراف كرهدر محيط متخلخل با در نظـر گـرفتن توايـد و جـذب گرمـا درحالـت دايـم بررسـي كـرده انـد. امـا در حالـت گـذرا معمـولا پژوهشگران به سراغ هندسه هاي سادهتر رفتهاند و هندسـههـاييچـون كـره كمتـر مـورد توجـه قـرار گرفتـه اسـت. اينگهـام و همكاران[۳۱] به بررسي جريان جابـهجـايي آزاد گـذرا اطـرافسطوح همدماي سه بعدي در گراشفهاي بالا پرداختنـد. ينـگ وهمكارن [۳۲] به بررسي جريان جابهجايي آزاد گذرا اطراف كرههمدما پرداختند كه براي اين كار از روش حجم محدود استفادهكردند. سـايتو و همكـاران [۳۳]جريـان جابـهجـايي آزاد گـذرااطراف كره با شار ثابـت را بررسـي كردنـد كـه از روش حجـممحدود براي مدلسازي استفاده كردنـد. كاتيگـاري و پـاپ [۳۴] جريان جابهجايي آزاد گذرا را اطراف كره دما ثابت را با استفادهاز تفاضل محدود بررسي كردند .
در اين مقاله به بررسي كارامدي الگوريتم تركيبيDQ-IDQ براي حـل عـددي جريـان جابـهجـايي آزاد لايـه مـرزي گـذراپرداخته شده است. بدين منظور جريان جابهجايي آزاد گذرا بـرروي كره بررسي شده و كارامدي استفاده از اين الگوريتم نسبتبه ساير الگوريتمها نشان داده شده است.
۲- اصول رياضي روش ديفرانسيل كوادريچر
ايده اوليـه ايـن روش برگرفتـه شـده از روش انتگرالگيـريمربعي است . در اين روش نيز مشتق در يـك راسـتاي معـين ازتمامي گره هاي محاسباتي در اين راسـتا اثـر مـيپـذيرد . ميـزاناثرپذيري گره هاي محاسباتي را ماتريس ضـرايب وزنـي تعيـينميكند. به عبارت ديگر مشتق يك تابع نـسبت بـه متغيـر آن دريك نقطه معين، با مجموع خطي حاصلضرب ضرايب وزنـي درمقدار تابع در نقاط موجود در دامنه آن متغير محاسـبه مـيشـودتابعg( , )η τ را در نظر بگيريد كه ميدان آن بر روي يك ناحيـهمستطيلي بـه صـورت 0≤η≤a و ≤τ≤ b 0 قـرار دارد. در ناحيه داده شده مقادير تابع معلوم است و يا اينكه بر روي نقاطناحيه خواسته شده اند.
بــر اســاس روش مربعــات ديفرانــسيل، مــشتق r ام تــابع g( , )η τ را ميتوان اين گونه تقريب زد.
103632-46802

∂r g( , )η τNη

∂ηr(ητ = η τ, ) ( i, j)m 1=
Nη (۱)

Agmj
i =1,2,…,Nη , j =1,2,…,NτكهAijη(r) ضرايب وزني وNη تعداد كل گرهها در دامنه موردنظر است. اين تقريب را تقريب كلي روش شو مي نامند كه الهام گرفته شده از تقريب بلمن است. از جمله مـشكلاتي كـه روشبلمن داشت بد وضعيت بودن ماتريس ضرايب وزني با افـزايشتعداد نقاط و افزايش مرتبه مشتقات و همچنـين نبـود رابطـهاي صريح براي محاسبه ماتريس ضرايب مشتقات بـالاتر اسـت كـهشو [۶] با ارايه روش خود بر اين مشكلات فايق آمد و موفق بهارايه روش صريحي براي بهدست آوردن ماتريس ضرايب شـد. بـا توجـه بـه معادلـه (۱) مولفـه اساسـي در تقريـب مربعـات ديفرانسيل تعيين ضرايب وزني (Aijη(r) ) است و انتخاب نقاطنمونه اسـت. بـه منظـور تعيـين ضـرايب وزنـي مـيبايـست ازمجموعه از توابع آزمون در معادله (۱) استفاده كرد كـه شـو بـاانتخاب تابع لاگرانژ به عنوان تابع آزمون كلـي، ضـرايب وزنـي براي تعيين مشتق مرتبه اول در جهتηi بـه نحـو زيـر تعيـينكرده است[۶]:
⎧ Nη
⎪−

Afor i = j

448818160710

A⎪⎪1M(ηi)for i ≠ j;(۲)
⎪⎩a (η −ηij)M(ηj)
i, j =1,2,….,Nη كه در آن

M(

)() (۳)
براي محاسبه ضرايب مشتقات مرتبه بالاتر ، شـو [۶] روش زيـررا پيشنهاد داده است كه به روش ضرب ماتريسي معروف است.
⎡⎣A(m) ⎤ ⎡⎦ ⎣== ⎡AA(1)(m⎦⎣⎤⎡−1)A⎤⎡(mA−(1)1) ⎦⎤⎤, m = 2,3,…,N −1(۴)
⎣⎦⎣⎦
كه در آنm مرتبه مشتق را نشان ميدهد. به همـين منـوال نيـزمي توان ضرايب وزني مربوط به جهت τ را نيز به دست آورد.
همانگونـه كـه شـو [۶] نـشان داده اسـت انتخـاب شـبكهنايكنواخت چبشف -گـاوس -لوبـاتو ۵ منجـر بـه دقـت بـالاتر وپايداري مطلق حل عددي ميشود. بنابراين انتخاب گـرههـا بـرروي ناحيه محاسباتي با استفاده از معادله زير تعيين ميشود.

1

2
3
N
τ

h

1

2

3

N



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید