دانشکده علوم
پایان نامه کارشناسی ارشد رشته ریاضی محض ( آنالیز)

نقاط c*-فرین

توسط :
مهسا خیر اندیش

استاد راهنما :
دکتر غلامحسین اسلام زاده

شهریور90

تقديم به
پدر و مادرم
سپاسگزاري
خداي بزرگ را سپاس كه توانايي تحصيل در راه خويش را به من عطا فرمود. برخويش واجب مي‌دانم كه مراتب تشكر و قدراني ويژه‌ي خود را از دكتر غلامحسين اسلام زاده كه در طول اين دوره تحصيلي راهنماي علم و اخلاقم بوده و با صبر و شكيبايي خود من را نسبت به ادامه راهم دلگرم نمودند، ابراز نمايم. همچنين از اساتيد مشاورم دكتر بهمن طباطبايي و دكتر محسن تقوي و نماينده تحصيلات تكميلي جناب آقاي دكتر عبدالعزيز عبدالهي به خاطر حضور در جلسه دفاعيه سپاسگزارم.
در آخر از پدر و مادرم كه نه تنها در تمام طول دوران تحصيلي بلكه در تمام مراحل زندگي پشتيبان مشوق و راهنماي من بوده و هستند به خصوص از خواهر عزيزم كه شرايط آسايش و آرامش بيشتر من را در اين دوره براي ادامه تحصيل فراهم نمود كمال تشكر را خواهم داشت.
چکیده
نقاط C^*- فرین
توسط :
مهساخیراندیش
در این پایان نامه قصد داریم حالت دیگری از قضیه ی کراین میلمان را برای زیر مجموعههای C*-محدب از B(H) به طوری که H یک فضای هیلبرت جداشدنی است، ثابت کنیم. اما از آن جا که همین اثبات برای زیر مجموعههای عاملهای ابرمتناهی به قوت خود باقی است، نتیجه را برای این چنین عاملهایی بیان میکنیم.
بنابراین نشان خواهیم داد:
هر زیرمجموعه -C* محدب ضعیف ستاره فشرده یک عامل ابرمتناهی (به خصوص در B(H)) بستار ضعیف ستاره از غلاف -C* محدب نقاط -C* فرینش است.
فهرست مطالب
عنوان صفحه
فصل اول: مقدمه2
فصل دوم : قضایا و تعاریف اولیه 4
تصویر و تصویر متعامد؛ زیر فضای پایا و تحویل پذیر5
جبر C^*7
جبر های فون نویمان و عامل ها 9
نگاشت های کاملاً مثبت12
فصل سوم : ساختار مجموعه های محدب C^*16
مجموعه های محدب C^*17
نقاط فرین C^* و -Rفرین 19
فصل چهارم: نقاط فرین C^*27
برد ماتریسی یک عملگر از یک عامل28
نقاط فرین C^* مجموعه های محدب C^* فشرده ی ضعیف ستاره 41
قضیه کرین میلمان برای مجموعه های محدب C^* فشرده ی ضعیف ستاره در عامل های ابر متناهی43
فصل پنجم: نقاط فرین C^* در جبر فون نویمان متناهی البعد R=M_n51
نقاط فرین C^* زیر مجموعه های محدب C^* نرم- بسته از جبر فون نویمان R51
تراکم M_n به M_k وقتی k≤n58
عناصر ساختاری 74
قضیه 3-3-2 در حالت متناهی البعد77
فهرست منابع88
واژه نامه انگليسي به فارسي90

فصل اول

مقدمه

در جبرهای C* مفهومی به نام -C*محدب و -C*فرین وجود دارد که تعریف -C* محدب را در قسمت تعاریف اصلی خواهیم آورد و تعریف نقاط C^*- فرین را از مقاله ی لوئبل و پالسن (1981) میاوریم. این نقاط برای زیر مجموعههای K از جبر C*، R=M_n≔M_n (C) ،همان نقاط فرین در مقاله ی لوئبل و پالسن(1981)هستند که عکس آن طبق مقالههای هاپنواسر و مور (1981)و فارنیک و مورنز (1993)بر قرار نمی باشد. طبق مقاله ی لوئبل و پالسن(1981)حالت دیگری از قضیه کراین میلمان برای مجموعههای فشرده – C^*محدب برقرار است و در واقع اخیراً برای زیر مجموعههای Mn این چنین قضیهای توسط مورنز (1994) ثابت شده بود که از بعضی کارهای قبلی فارنیک (1992) و فارنیک و مورنز استفاده شده.
درفصل 3 این پایان نامه قضیه 3-2-2 را در حالت کلی برای عاملهای ابرمتناهی بیان کرده و اثبات آن را به کمک قضیه های زیرنشان خواهیم داد.
قضیه: فرض کنید R یک عامل دلخواه باشد و وجود داشته باشد به طوری که یک زیر عامل (شامل همانی R) ایزوموف با Mn باشد. آنگاه برای هر به طوری که Wn(x)به عنوان زیر مجموعهای از A در نظر گرفته میشود و A توسط Mn مشخص میشود (با استفاده از یک C*-ایزومورفیسم دلخواه) به علاوهφ(K)⊆K برای هر نگاشت کاملاً مثبت یکانی و هر زیر مجموعه محدب C* فشرده ی ضعیف ستاره ی K از R.
قضیه: فرض کنید R یک جبرC* یکانی و A یک زیر جبر C* شامل همانی R باشد به طوری که برای هر یک امید شرطی وجود داشته باشد که . اگر K زیرمجموعه محدب C* از R باشد کهφ(K)⊆K برای هر نگاشت کاملاً مثبت یکانی ، آن گاه 〖ext〗_A (K∩A)⊆〖ext〗_R (K).
هم چنین درفصل 3 لم زیر را برای اثبات قضیه3-1-3 استفاده کرده و لم 3-2-2 را نیز اثبات خواهیم کرد.
قضیه: فرض کنید A یک جبرC* یکانی باشد و am,…,a1 عناصر A و p یک حالت روی A در بستار ضعیف ستاره حالتهای محض باشد. آن گاه برای هر وجود دارد عنصر به طوری که و برای i=1,…,m.
پس از آن در فصل 4، قضیه 3-1-3 را در حالت R=Mn توسط نتایجی از مقالات فارنیک (1992) و مورنز (1994) یا مقاله ی وبستر و وینکلر(1999 ) اثبات خواهیم کرد.
خاطر نشان میشویم که وجود نقاطC^* _ فرین از زیرمجموعههایC^* _محدب فشرده ی ضعیف ستاره ی K از یک جبر دلخواه فون نویمان در مقاله ماگاجنا اثبات شده اما نقاط فرین بدست آمده از مقاله ماگاجنا دلخواه است و برای تولید کردن K مناسب نیست.
بنابراین برای جبرهای دلخواه فون نویمان این مسئله که هر زیر مجموعه -C*محدب فشرده ی ضعیف ستاره توسط نقاط -C*فرینش تولید میشود، هنوز حل نشده است.
فصل دوم
قضايا و تعاريف اوليه
1-1: تصوير و تصوير متعامد؛ زير فضاي پايا و تحويل‌پذير:
قضيه 1-1-1: فرض كنيم يك فضاي هيلبرت باشد، h∈H و .M≤Hهم چنین يك نقطه منحصر به فرد در باشد به طوري كه . آن‌گاه:
1) روي يك تبديل خطي است.
2).∀ h∈H ، ∥Ph∥≤∥h∥
3) .
4) .
اثبات: [16] قضيه 7-2-1.
تابع كه در قضيه فوق تعريف شده را تصوير متعامد بر روي گوييم.
تعريف 1-1-2: اگر يك عملگر خطي كراندر روي باشد به طوري كه آن‌گاه گوييم يك تصوير است هرگاه .
گزاره 1-1-3: اگر يك عملگر خطي كراندار روي باشد به طوري كه آن‌گاه جملات زير هم ارز هستند:
1) تصوير است.
2) E يك تصوير متعامد از به روي است.
3) .
4) خود الحاق است.
5) نرمال است.
6) .
اثبات: [16] گزارة 3-3-2.
تعریف 1-1-4: نگاشت خطی و مثبت U:H→K بین دو فضای هیلبرت H و K را یک طولپای جزیی گوییم هر گاه U روی 〖Ker U〗^⊥ طولپا و در بقیه نقاط H صفر باشد. در واقع:
{█(∥U(x)∥=∥x∥ ∀ x∈〖Ker U〗^⊥@U=0 ∀ x∉〖Ker U〗^⊥ )┤
گزاره 1-1-5: عملگرV را كه روي فضاي هيلبرت H عمل مي‌كند طولپاي جزئي گوييم اگر و فقط اگر E=V^* V يك تصوير باشد. در اين حالت E تصوير ابتداييVو F=VV^*تصوير انتهايیV است و V^* يك طولپاي جزئي با تصوير ابتدايیF و تصوير انتهايی E است.
اثبات: [9]، گزاره 1-1-6.
تعريف 1-1-6: اگر M≤H,T∈H (Mزير فضاي بستهH است) گوييم M يك زيرفضاي پايا براي است اگر Th∈M برای هر. به عبارت ديگر اگرTM⊆M.
تعريف 1-1-7: گوييم M يك زير فضاي تحويل‌پذير براي T است هرگاه M و M^⊥ تحت T پايا باشند يعني. TM⊆M و TM^⊥⊆M^⊥
يادآوري مي‌كنيم كه اگر M≤H آن‌گاه H=M⨁M^⊥. اگر T∈B(H) آن‌گاه مي‌توان T را به عنوان يك ماتريس كه درايه‌هايش عملگر هستند به صورت زير بازنويسي كرد.
T=(■(W&X@Y&Z))
به طوری که :
W∈B(M) , X∈B(M^⊥,M) , Y∈B(M,M^⊥ ) , Z∈B(M^⊥)
قضيه 1-1-8: اگر P=P_M و M≤H و T∈B(H) يك تصوير متعامد به روي M باشد آن‌گاه (1) تا (4) هم‌ارز هستند.
(1) M زيرفضاي تحويل پذير T است.
(2) PT=TP .
(3) در نمايش .X=Y=0 , T=(■(W&X@Y&Z))
(4) M براي A وA^* پاياست.
اثبات: [16] گزاره 7-3-2.
تعريف 1-1-9: خانواده F از عملگرهاي كراندار روي فضاي هيلبرت H، به طور تحويل ناپذير توپولوژيك عمل مي‌كند هرگاه {0} و H تنها زير فضاهاي بسته ی پايا تحت F باشند.
تعريف 1-1-10: فرض كنيم π:A⟶B(H) يك نمايش از جبر A باشد. گوييم π يك نمايش تحويل‌ناپذير است اگر {0} و H تنها زیر فضاهای بسته از H باشند كه تحت هر عملگر از π(A) پايا هستند.
١-٢: جبر :
جبر A روي C، فضاي برداري A همراه با يك ضرب است به طوري كه A با اين ضرب يك حلقه است و اگر α∈Cو a,b∈A آن‌گاه α(ab)=(αa)b=a(αb).
حال اگر يك نرم روي جبر A باشد آن‌گاه (A,∥.∥) را يك جبر نرم دار گوييم.
تعريف 1-2-1: جبر باناخ A، جبر A روي C همراه با يك نرم است كه نسبت به آن A فضاي باناخ است و براي هر a,b∈A، ∥ab∥≤∥a∥∥b∥.
اگر عنصر هماني A باشد آن‌گاه فرض مي‌كنيم . عنصر هماني را با 1 نشان مي‌دهيم. در صورتي كه A يكدار نباشد با تعريف يك ساختار جبر باناخ مناسب روي جمع مستقيم A_١≔A⨁C و نشاندن A در A_١، يك ريختي طولپا بين A و جبر باناخ يكدار A_١ با عنصر هماني برقرار مي‌شود. تحت اين يكساني A ايده‌آل A_١ است و با اين‌كار تعريف معكوس و طيف براي عناصر جبرهاي باناخ غيريكدار ممكن خواهد شد. اگر A يك جبر نرم‌دار با عنصر يكه 1 باشد و ، گوييم A يك جبر نرم‌دار يكاني است.
تعريف 1-2-2 : نگاشتA⟶A:* را كه هر عنصر a از جبر باناخ مختلط A را به عنصر a^* از A مي‌برد، یک اینولوشن گوییم هر گاه :
1) ∀α,β∈C و ∀a,b∈A 〖(αa+βb)〗^*=α ̅a^*+β ̅b^*.
2) ∀a,b∈A 〖(ab)〗^*=b^* a^* .
3) ∀a∈A 〖(a^*)〗^*=a .
به طوری که α ̅ و( β) ̅، مزدوج αوβ در C هستند. جفت (A , *) را *-جبر می نامیم.
تعریف 1-2-3: اگر S زیر مجموعه ای از A باشد و S^*={ a^* : a∈A } و اگر S^*=S، گوییم S یک مجموعه ی خود الحاق است.
تعریف 1-2-4: یک زیر جبر خود الحاق B از A را یک *_زیر جبر از A گوییم.
تعريف 1-2-5: یکجبر C^*، يك جبر باناخ مختلط با اینولوشن * است كه علاوه بر شرايط (1) تا (3) در تعريف قبل، داراي شرط اضافي زير نيز باشد:
(4) ∀a∈A ∥a^* a∥=〖∥a∥〗^٢.
شرط (4) نشان می دهد که اینولوشن * در C^*-جبر A، نرم را حفظ می کند بنا بر این پیوسته است چون :
〖∥a∥〗^٢=∥a^* a∥≤∥a^*∥ ∥a∥ ⟹ ∥a∥≤∥a^*∥
و با قرار دادن a^* به جای a نتیجه می شود که :
∥a^*∥≤∥a∥ ⟹ ∥a∥=∥a^*∥
تعريف 1-2-6: اگر A يك جبر باشد آن‌گاه M_n (A) جبر همه ماتريس‌هاي با درايه‌هاي در A را مشخص مي‌كند. اگر A يك *_جبر باشد (يعني A يك جبر با * است كه براي هرa^*∈A , a∈A)، M_n (A) با تعريف 〖(a_ij)〗_(i,j)^*=〖(a_ji^*)〗_(i,j) نيز *- جبر است.
طبق تعريف بالا به راحتي قابل ديدن است كه اگر φ:A⟶B يك *- همومورفيسم بين *-جبرهايوباشد.آن‌گاه طبق تعریف * روی M_n (A)، تقویت φ یعنی :
φ^’:M_n (A)⟶M_n (B) : φ^’ 〖(a_ij)〗_(i,j)=〖(φ(a_ij))〗_(i,j)
و اگر u∈M_n (B(H)) آن‌گاه φ(u)∈B(H^n) را به صورت زير تعريف مي كنيم :
φ(u)(x_١… x_n )=(∑_(j=١)^n▒〖u_١j (x_j ),…,∑_(j=١)^n▒〖u_nj (x_j ) 〗〗) ∀(x_١,…,x_n)∈H^n
كه طبق این تعريف φ:M_n (B(H))⟶B(H^n) يك *- ايزومورفيسم مي‌شود.
حال طبق قضيه 2-4-3 از [17]، اگر A يك جبر باشد آن‌گاه يك نرم منحصر به فرد روي M_n (A) موجود است (∀a∈M_n (A) , ∥a∥=∥φ(a)∥) كه باعث مي‌شود M_n (A) به جبر تبديل شود.
قابل ذکر است که طبق] 13[، صفحه 2، در H^n نرم و ضرب داخلی به صورت زیر تعریف
می شود :
∀(h_١,…,h_n ) , (k_١,…,k_n )∈H^n 〖∥ ■(h_١@⋮@h_n ) ∥〗^٢=〖∥h_1∥〗^٢+…+〖∥h_n∥〗^٢ و
〖< ■(h_١@⋮@h_n ) , ■(k_١@⋮@k_n ) >〗_(H^n )=〖<h_١ , k_١>〗_H+…+〖<h_n , k_n>〗_H
همچنین طبق قضیه ی 6 از] 13[، ضرب دو عنصر از جبر M_n⨂A (Aیک جبر است) به صورت زیر می باشد :
∀(a_١⨂b_١ ) , (a_٢⨂b_٢ )∈M_n⨂A (a_١⨂b_١ ).(a_٢⨂b_٢ )=(a_١ b_١)⨂(a_٢ b_٢)
1-3: جبرهاي فون نويمان و عامل‌ها:
از ابتدای این بخش قرار داد می کنیم که I یک عملگر همانی روی فضای هیلبرت H است.
تعريف 1-3-1: اگر H يك فضاي هيلبرت باشد توپولوژی عملگر ضعیف روی B(H)(مجموعه ی همه عملگرهای خطی کراندار از H به H )، توپولوژي موضعاً محدب تعريف شده توسط خانواده اي از نيم‌نرم‌هاي {P_(h,k) : h,k∈H} است به طوري كه، P_(h,k) (A)=|<Ah,k>| و براي هر عملگر A از B(H) توپولوژی عملگر قوی روی B(H)، توپولوژی تعریف شده توسط خانواده ی نیم نرم‌های {P_h : h∈H} است که P_h (A)=∥Ah∥. توپولوژي عملگرضعيف را با (WOT) و توپولوژی عملگر قوی را با (SOT) نمایش می دهند.
قابل ذکر است که توپولوژی موضعاً محدب یک توپولوژي روي فضاي برداري چون V است به طوري كه توسط اين توپولوژي V يك فضاي موضعاً محدب باشد يعني اين توپولوژي داراي پايه‌ای شامل مجموعه‌هاي محدب باشد.
گزاره 1-3-2: فرض كنيم H يك فضاي هيلبرت و {A_i } يك نت در B(H) باشد آن‌گاه :
1) A□(→┴((WOT)) ) A_i اگر و تنها اگر <A,h,k>⟶<Ah,k> براي هر h,k درH.
2) A_i □(→┴((SOT)) ) A اگر و تنها اگر براي همه h هاي در H، ∥A_i h-Ah∥⟶0.
اثبات: [16]، گزارة 5-1-3.
تعريف 1-3-3: اگر A يك *-زیرجبر قوياً (ضعيفاً) بسته ی B(H) باشد. آن‌گاه A يك جبر فون- نويمان است. به عبارتي اگر A يك جبرC^* باشد كه روي فضاي هيلبرت H عمل مي‌كند به طوري كه در توپولوژي عملگر قوي (ضعيف) بسته و شامل هماني I نيز باشد گوييم A يك جبر فون- نويمان است.
تعریف 1-3-4: اگر C یک زیر مجموعه از جبر A باشد، جابجاگر C^’ را مجموعه ی همه ی عناصر C جابجا شود تعریف می کنیم. C^’ یک زیر جبر A نیز است.
تعريف 1-3-5: يك عامل روي فضاي هيلبرت H، يك جبر فون نويمان A رويH است به طوري كه A∩A^’=C_I‌كه A^’={a∈A : ab=ba ∀b∈A} جابجاگر A است.
یاد اوری می کنیم که اگر H یک فضای هیلبرت باشد، B(H) یک عامل است.
تعريف 1-3-6:C^*-جبر يكاني A را يك جبر ابر متناهي يكنواخت گوييم هرگاه A داراي دنباله صعودي 〖(A_n)〗_(n=١)^∞ از – زيرجبرهاي ساده متناهي البعدي باشد كه هر كدام شامل يكه A هستند به طوري كه ⋃_(n=١)^∞▒A_n در A چگال و يكه آن I باشد.
تعريف 1-3-7: جبر فون نويمان R روي فضاي هيلبرت H را ابرمتناهي گوييم اگر داراي – زيرجبر ضعيفاً چگال و ابر متناهي يكنواخت باشد.
تعريف 1-3-8: اگر a يك عملگر در جبر فون‌نويمان A باشد محمل مركزي C_a از عملگر a، تصويرI-P است به طوری که P اجتماع همه تصوير‌هاي مركزي P_α از A است و P_α a=0(تصوير مركزي P_α تصويري است كه در مركز A يعني قرارگرفته باشد). بنابراين C_a در مركز A قرار دارد و C_a a=a. پس مي‌توان گفت C_a=∩Q كه Q يك تصوير مركزي است به طوري كهQa=a.
گزاره 1-3-9: اگر E و F به ترتیب تصاویری از H به روی زیر فضاهای بسته ی Y و Z باشند، شرایط زیر هم ارز هستند :
١( Y⊂Z .
٢( FE=E .
٣) EF=E .
٤) ∀ x∈H ∥Ex∥=∥Fx∥ .
٥)E≤F .
اثبات: ] 9 [، گزاره 2-5-2.
تعریف 1-3-10: هر گاه یکی از 5 شرط گزاره ی 1-3-9 بر قرار باشد گوییم E یک زیر تصویر F است.
تعریف 1-3-11: فرض کنیم E و F دو تصویر باشند. گوییم E و F نسبت به جبر فون نویمان R هم ارز هستند و می نویسیم E∼F (R)، هر گاه V∈R موجود باشد که E=V^* V و F=VV^*.
تعريف 1-3-12: اگر E و F دو تصوير در جبر فون نويمان A باشند گوييم E از F ضعيف‌تر است و مي‌نويسيمE≲F هر گاه E با يك زير تصوير ازF هم ارزباشد.
حال اگر E≲F و F≲E گوييمE∼F.
تعريف 1-3-13: تصويرE در جبر فون نويمان A را نا متناهي گوييم(نسبت بهA) هر گاه تصوير E_0 در A موجود باشد به طوري كه E∼E_0<E، در غير اين صورت E را نسبت به A متناهي گوييم. اگرE نامتناهي باشد و براي هر تصوير مركزي P، PE=0 يا نامتناهي باشد، E را نامتناهي محض گوييم. A را جبر فون نويمان متناهي يا نامتناهي محض گوييم هر گاه I به ترتيب متناهي يا نامتناهي محض باشد.
يادآوري مي‌كنيم كه منظور از E<F اين است که E≤Fو E≠F.
تعریف 1-3-14: تصویر E را یک تصویر مینیمال در B(H) گوییم هر گاه برد E دارای بعد یک باشد و شامل هیچ تصویر غیر صفری در B(H) نباشد.
تعريف 1-3-15: تصويرE در جبر فون‌نويمان A را يك تصوير آبلي گوييم هر گاه EAE آبلي باشد. به عبارتي طبق قضيه 2-4-6 از [1]، تصويرE در جبر فون‌نويمان A آبلي است اگر و فقط اگر E در كلاس تصوير‌هايي در A با محمل مركزي يكسان، مينمال باشد.
نكته 1-3-16: هر تصوير آبلي در جبر فون‌نويمان A، متناهي است.
تعريف 1-3-17: گوييم جبر فون نويمان A از نوع I است اگر A داراي يك تصوير آبلي با محمل مركزي I باشد. از نوع است اگر I مجموع تصوير آبلي هم‌ارز باشد. اگرA هيچ تصوير آبلي غيرصفري نداشته باشد اما داراي يك تصوير متناهي با محمل مركزي I باشد، آن‌گاه گوييم A از نوع است- از نوع است اگر I متناهي باشد- از نوع است اگر I نامتناهي محض باشد. اگر A هيچ تصوير متناهي غيرصفري نداشت باشد، گوييم A از نوع III است.
تعريف 1-3-18: طبق نکته 1-3-11 هر جايي يك تصوير آبلي با محمل مركزي I داشتيم يعني تصوير مينيمال است لذا همانند تعريف 1-3-12 مي‌توان انواع عامل‌هاي و I و و و را نيز تعريف كرد و به جاي تصوير آبلي با محمل مركزي I، از تصوير مينيمال استفاده كرد.
1-4: نگاشت‌هاي كاملاً مثبت:
تعريف 1-4-1: فرض كنيم φ:A⟶B يك نگاشت خطي از C^*- جبر A به C^*- جبر B باشد.
– φ را مثبت گوييم هرگاه براي φ(a)∈B^+ , a∈A^+.
– φ را يكاني گوييم هرگاه – جبرهاي A و B يكدار باشند و φ(1)=1 .
تعريف 1-4-2: فرض كنيم 〖id〗_n:M_n⟶M_n نگاشت هماني وφ:A⟶B نگاشت خطي باشد نگاشت 〖id〗_n⨂φ:M_n⨂A⟶M_n⨂B را كه هر عنصر را به a⨂φ(b) مي‌‌نگارد، با φ^((n)) نشان داده و φ ‌را كاملاً مثبت گوييم هرگاه براي هر φ^((n)), n≥1 مثبت باشد.
اگر φ يك نگاشت *-همومورفيسم باشد آن‌گاه مثبت است. زيرا اگرa∈A^+ طبق قضيه 6-2-4 از [9]، t∈A وجود دارد كه a=t^* t پس :
φ(a)=φ(t^* t)=φ(t^*)φ(t)=(φ(t))^* φ(t)≥0
لذا φ كاملاً مثبت است چون براي هرφ^((n)), n≥1يك نگاشت *-همومورفيسم است و مثبت.
گزاره 1-4-3 (قضيه نمايش اشتاين اسپرينگ1): فرض كنيم A يك -C^*جبر يكاني باشد و φ:A⟶B(H) يك نگاشت كاملاً مثبت،آن‌گاه فضاي هيلبرتK و *- همومورفيسم يكاني π:A⟶B(K) و عملگر كراندار V:H⟶K موجودند به طوري كه :
φ(a)=V^* π(a)V , ∥φ(1)∥=〖∥V∥〗^٢
اثبات: قضيه 1-4 از [13] .عکس این قضیه در ] 22 [اثبات شده و در ] 10[ قضیه 2 نیز بیان شده است.
اگر φ يكاني باشد، آن‌گاهV، طولپا است. سه تایی (π , V , K) را نمایش اشتاین اسپرینگ برای φ گوییم.
تعریف 1-4-4: اگر (π , V , K) یک نمایش اشتاین اسپرینگ برای φ باشد و K_١ فضای خطی بسته ی تولید شده توسط π(A)VH باشد. چون K_١ تحت π(A) پایاست پس تحدید π به K_١ ، *-همومورفیسم π را به صورت π_١:A→B(K_١) تعریف می کند به طوری که VH⊆K_١ و φ(a)=V^* π_١ (a)V. لذا (π_١ , V , K_١) یک نمایش اشتاین اسپرینگ است به طوری که دارای این شرط اضافی است که K_١ فضای خطی بسته ی تولید شده توسط π_١ (A)VH می باشد. بنابر این اگر یک نمایش این شرط اضافی را داشته باشد که سه تایی (π_١ , V , K_١) را یک نمایش اشتاین اسپرینگ مینیمال گوییم.
گزاره 1-4-5: فرض كنيم A يك -C^*جبر وφ:A⟶B(H) يك نگاشت كاملاً مثبت باشد و (i=١,٢), (π_i,V_i,K_i) دو نمايش اشتاين اسپرينگ مينيمال برايφ باشند. آن‌گاه عملگر يكاني U:K_١⟶K_٢ موجود است به طوري كهUπ_١ U^*=π_٢ , UV_١=V_٢.
اين گزاره در واقع منحصر به فردی اين نمايش را نشان مي‌دهد.
اثبات: [13]، قضيه 2-4.
قضیه 1-4-6:فرض كنيم φ:M_n⟶M_n يك نگاشت خطي باشد آن‌گاه φ كاملاً مثبت است اگر براي هر a∈M_n، نگاشت φ به شكل φ(a)=∑_i▒〖V_i^* aV_i 〗 باشد در حالي‌كه V_i∈M_(n×m) .
اثبات: ]19 [، قضیه 1.
در]19[، یکتایی نمایش φ(a)=∑_i▒〖V_i^* aV_i 〗 نیز نشان داده شده است.
تعریف 1-4-7: فرض کنیم T:E_١→E_٢ یک عملگر خطی کراندار باشد که E_١ و〖 E〗_٢ دو فضای توپولوژیک هستند و X یک فضای برداری است. همچنین π_١:X→E_١ , π_٢:X→E_٢ دو نگاشت باشند به طوری که ∀ x∈X , Tπ_١ (x)=π_٢ (x)T. در این صورت گوییم T یک عملگر پیچشی است. هم چنین این مفهوم وقتی که X یک گروه یا یک جبر باشد و π_١ , π_٢ نمایش هایی از X باشند، بر قرار است.
1-5 : حالت، حالت محض و حوزة عددي و ماتریسی يك عملگر :
تعريف 1-5-1: فرض كنيم M يك زير فضاي خودالحاق از جبر A و شامل همانی I باشد(I∈A). تابعك خطي P:M⟶C را يك حالت M گوييم هرگاه P مثبت بوده و P(I)=١.
تعریف 1-5-2 :فرض كنيم P يك حالت A باشد. اگر P يك نقطه فرين از مجموعه محدب S(A) باشد كه S(A) مجموعه همه حالت‌هاي A است، گوييم P يك حالت محض A است.
در تعاريف زير فرض كنيم H یک فضاي هيلبرت وT يك عملگر خطي كراندار رويH باشد.
تعريف 1-5-3: حوزه عددي عملگر T به صورت، W(T)={<Tf,f> : ∥f∥=١, f∈H} تعريف مي‌شود و شعاع عددي آن عبارتست از:
w(T)=Sup{|λ| : λ∈W(T)}.
طبق قضيه 17-2 از [8]، براي فضاهاي متناهي البعد، W(T) مجموعه همه تصاويرT تحت همة‌ نگاشت‌هاي يكاني مثبت از B(H) به اعداد مختلط است.
تعريف 1-5-4:‌ فرض كنيمA يك جبرC^* و x∈A باشد. برد ماتريسي x را که با W_n (x) نشان مي‌دهيم به صورت زير تعريف مي‌شود:
φ:A⟶M_n }يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني است: W_n (x)={φ(x)
تعريف 1-5-6: فرض كنيم يك حالت روي – جبر A باشد آن‌گاه:
1) يك حالت محض است اگر و فقط اگر نمايش 2(GNS)،φ_τ:A⟶B(H_τ) تحويل‌ناپذير است.
2) اگر A آبلي باشد آن‌گاه يك حالت محض است اگر و فقط اگر يك مشخصه روي A باشد.
اثبات: قضيه 6-1-5از [17].
خاطر نشان مي‌كنيم كه طبق [17] اگر يك حالت روي – جبر A باشد ، نمايش يك به يك φ_τ:A⟶B(H_τ) و بردار يكه ξ موجود هستند که به طوری که :
τ(a)=<φ_τ (a)ξ,ξ>
در واقع N_τ={a∈A : τ(a^* a)=0} و H_τ كامل شده A/N_τ است. نمایش φ_τ:A⟶B(H_τ ) را نمايش (GNS) گوييم. البته <a+N_τ , b+N_τ> =τ(b^* a)يك ضرب داخلي روي A/N_τ تعريف مي‌كند و اگر φ:A⟶B(A/N_τ ) يك نمايش باشد و (a+N_τ)(b+N_τ )=ab+N_τ آن‌گاه φ(a) يك بسط منحصر به فرد φ_τ (a) روي H_τ دارد.
فصل سوم
ساختار مجموعه‌هاي محدب C* (C*- محدب)
2-1: مجموعه‌هاي محدب :
تعريف 2-1-1: زيرمجموعه K از -C^*جبر يكاني A را A-محدب (يا محدب) گوييم هرگاه، ∑_(j=1)^n▒〖a_j^* x_j a_j 〗∈K جايي كه a_j∈A وx_j∈K و ∑_(j=1)^n▒〖a_j^* a_j 〗=1 براي همه ها.
تعريف 2-1-2: مجموع‌ متناهي ∑_(j=1)^n▒〖a_j^* x_j a_j 〗 را تركيب محدب و a_i را ضرايب محدب مي‌ناميم.
تعريف 2-1-3: فرض كنيم K زير مجموعه جبر يكاني A باشد، غلاف- محدب K را كوچكترين مجموعه محدب شامل K تعريف مي‌كنيم و با C^*-Conv(K) نشان مي‌دهيم. در واقع :
C^*-Conv(K)=∩{B : K⊆B ومحدب استC^*، B}
حال اگر x∈A غلاف-محدب x را با 〖CO〗_R (x) نشان مي‌دهيم كه به صورت :
〖CO〗_R (x)={ ∑_(i=1)^n▒〖a_i^* x_i a_i 〗 : a_i∈A , ∑_(i=1)^n▒〖a_i^* a_i 〗=1 , n∈N}
است.
تعريف 2-1-4: فرض كنيم A يك جبر يكاني باشد و x,y∈A. دو عملگر x,y را هم‌ارز يكاني گوييم هرگاه يكاني u موجود باشد به طوري كهy=uxu^* و آن را با x≅y(x∼y) نشان مي‌دهيم.
تعريف 2-1-5: تركيب محدب ∑_i▒〖a_i^* x_i a_i 〗 , C^* را يك تركيب محدب محض گوييم هرگاه ضرايب- محدب a_i، معكوس پذير باشند.
تبصره 2-1-6: اگر K يك مجموعه محدب باشد آن‌گاه K محدب نيز است.
اثبات:
فرض كنيم x∈K و x=∑_(i=1)^n▒〖a_i x_i 〗 كه x_i∈K و a_i∈R^+ , ∑_(i=1)^n▒a_i^ =1. چون a_i≥0 بنابراين a_i^*=a_i پس :
x=∑_(i=1)^n▒〖a_i x_i 〗=∑_(i=1)^n▒〖√(a_i ) x_i √(a_i )〗=∑_(i=1)^n▒〖〖√(a_i )〗^* x_i √(a_i )〗
كه x_i∈K و ∑_(i=1)^n▒〖〖√(a_i )〗^* √(a_i )〗=∑_(i=1)^n▒a_i =1. چون K محدب است لذا :
∑_(i=1)^n▒〖a_i x_i 〗=∑_(i=1)^n▒〖〖√(a_i )〗^* x_i √(a_i )〗∈K.■
تبصره 2-1-7: اگر K محدب باشد و x∈K به طوري كه x∼y آن‌‌گاهy∈K.
اثبات:
فرض كنيم x=∑_(i=1)^n▒〖a_i^* x_i a_i 〗 به طوري كه x_i∈K و a_i∈A و ∑_(i=1)^n▒〖a_i^* a_i 〗=1 اگر x∼y پس يكاني u∈A موجود است كه y=u^* xu يعني y=u(∑_(i=1)^n▒〖a_i^* x_i a_i 〗)u^* در نتيجه :
y=∑_(i=1)^n▒〖ua_i^* x_i a_i u^* 〗=∑_(i=1)^n▒〖〖(a_i u^*)〗^* x_i (a_i u^*)〗
و
∑_(i=1)^n▒〖〖(a_i u^*)〗^* (a_i u^*)〗=∑_(i=1)^n▒〖ua_i^* a_i u^* 〗=u(∑_(i=1)^n▒〖a_i^* a_i 〗) u^*=uu^*=1 , a_i u^*∈A
حال چون K، محدب است پس y∈K.■
تبصره قبل نشان مي‌دهد كه مجموعه‌هاي محدب تحت هم‌ارزي يكاني، بسته هستند.
تعريف 2-1-8: فرض كنيم A يك جبر يكاني باشد وx∈A، مدار يكاني x را به صورت زير تعريف مي‌كنيم.
O(x)={uxu^*=z (z∼x) : z∈A}
تعريف 2-1-9: اگر A يك جبر باشد گوييم u∈A يكاني است هر گاهu^* u=uu^*=I. حال اگر u^* u=1 گوييم u طولپاست و اگر uu^*=1 گوييم u، هم‌طولپا است.
2-2: نقاط (-فرين) و – فرين:
تعريف 2-2-1: نقطه x عضوK يك نقطه فرين براي K است اگر شرط ؛
x=∑_(i=1)^n▒〖a_i^* x_i a_i 〗 , ∑_(i=1)^n▒〖a_i^* a_i 〗=1
به طوری که n∈N و a_i∈A معکوسپذیر است، نتيجه دهد كه همة x_i ها با x در A هم ‌ارز يكاني هستند.
طبق [10] اگرK يك زير مجموعه A=M_n≔M_n (C) باشد، نقاط فرين آن، نقاط فرين نيز هستند. اما عكس آن طبق مثال‌هايي از [6] و [8] درست نيست.
فرض كنيم x∈K , K⊆M_n يك نقطه فرين باشد. پس طبق تعريف اگر،
∑_(i=1)^n▒〖a_i^* a_i 〗=1 , x_i∈K , مثبت و پذیر معکوس a_i∈A))x=∑_(i=1)^n▒〖a_i^* x_i a_i 〗
x_i ها و x هم‌ارز يكاني هستند. حال اگر فرض كنيم n=٢ نتيجه مي‌شود كه عناصر يكاني u_١ , u_٢ در A موجودند به طوري كه :
x=u_٢ x_٢ u_٢^*=u_٢ u_٢^* x_٢=Ix_٢=x_٢ , x=u_١ x_١ u_١^*=u_١ u_١^* x_١=Ix_١=x_١
و b_١+b_٢=a_١^* a_١+a_٢^* a_٢=1 پس x يك نقطه فرين است ولي همان‌طور كه گفته شد عكس اين مطلب برقرار نيست. چرا كه طبق قضيه 17-2 از [8]، T یک نقطه فرين از W_١ می باشد كه فرين نيست. به طوری که W_١ محدب و محدب خطي است و به صورت :
W_١={ T :W(T)≤١}
تعریف می شود. اين قضيه به صورت زیر می با شد.
قضيه 2-2-2: فرض كنيم T يك نقطه فرين خطي غيراسكالر از W_١ باشد و W(T)، دايره يكه را در دقيقاً يك نقطه قطع كند به طوري كه در كوچكترين قطر W(T) قرار گرفته و دايره يكه، دايره بوسان W(T) در اين نقطه است. آن‌گاه T يك نقطه فرين در W_١ نيست.
تعريف 2-2-3: فرض كنيم x∈K و K يك زير مجموعه محدب در- جبر A باشد. گوييم x يك نقطه A-فرين برايK است هرگاه شرط :
(2-2 )a_i∈Aدر A معكوس‌پذير و مثبت‌اند و x_i∈K و x=∑_(i=1)^n▒〖a_i x_i a_i 〗 : ∑_(i=1)^n▒a_i^٢ =1
نتيجه دهد كه ∀i a_i x=xa_i , x_i=x.
قبل از اينكه نكات و مثال هايي از نقاطفرين و -A فرين را مطرح كنيم، تجزيه قطري و طولپاي جزئي را از بيان خواهيم كرد.

قضيه 2-2-4: يك طولپاي جزئي يك عملگر چون w است به طوري كه براي هر h عضو〖Ker w〗^⊥، به طوري كه فضاي〖(Ker w)〗^⊥ را فضاي ابتدايي w و فضاي(ran w) را فضاي پاياني w مي‌ناميم.
قضيه 2-2-5: اگر T يك عملگر خطي كراندار روي فضاي هيلبرت H باشد. طولپاي جزئي V با فضاي ابتدايي ((ran T^*)) ̅(=〖(Ker V)〗^⊥) و فضاي پاياني (ran T) موجود است به طوري كه T=V〖(TT^*)〗^(١/٢)=〖(TT^*)〗^(١/٢) V . اگر T=WS كه S مثبت و W يك طولپاي جزئي با فضاي ابتدايي (ran S) باشد آن گاه 〖(T^* T)〗^(١/٢)=S و W=V. اگر نه T و نه T^* بردارهاي غير صفر را صفر نكنند آن گاه V يك عملگر يكاني است.
اثبات: ]9[ قضيه 2-1-6.
قابل ذكر است كه ,|T|=〖(TT^*)〗^(١/٢) V^* T=|T| Ker T=Ker V.
نكته 2-2-6: فرض كنيم T=V|T| معكوس پذير باشد در این صورتV يكاني است. زيرا وقتي T معكوس پذير باشد T^* نيز معكوس پذير است (〖(T^*)〗^(-1)=〖(T^(-1))〗^*) لذا نه T و نه T^* هيچ بردار غير صفر را صفر نمي‌كنند پس بنا به قضيه 2-2-5، V يك عملگر يكاني است.
تبصره 2-2-7: در شرط (2-2) از تعريف نقاط A- فرين، كافي است تنها حالت n=٢ را بررسی كنيم. چون اگر در حالت n=٢ بر قراري شرط (2-2)، -A فرين بودن يك نقطه را نتيجه دهد آن‌گاه در حالت كلي n نيز چنين است. براي نشان دادن اين مطلب فرض كنيم در حالت n=٢ شرط (2-2) برقرار است و نتيجه ميدهد ،a_٢ x=xa_٢ , a_١ x=xa_١ , x=x_١=x_٢. قرار مي‌دهيم، a=〖(a_٢ , …, a_n)〗^T , y=⨁_(j=٢)^n x_j. فرض كنيمa=u|a| يك تجزيه قطري براي ستون a باشد لذا :
a^*=〖(u|a|)〗^*=〖(u〖(a^* a)〗^(١/٢))〗^*=〖(〖(a^* a)〗^(١/٢))〗^* u^*=〖(a^* a)〗^(١/٢) u^*=|a|u^*
چون طبق قضيه 6-2-4 از ، و ريشه دوم آن مثبت هستند پس خود الحاق مي‌باشند بنابراين در شرط (2-2) به دليل مثبت بودن ها و در نتيجه a نتیجه می شود که :
x=a_١ x_١ a_١+…+a_٢ x_٢ a_٢=a_١ x_١ a_١+…[a_٢^* x_٢ a_٢+…+a_n^* x_n a_n]
=a_١ x_١ a_١+[(a_٢^* … a_n^* )+⊕_(i=٢)^n x_(i ) ■(a_٢@⋮@a_n ) ]=a_١ x_١ a_١ [ ■(a_٢@⋮@a_n )^( *) y ■(a_٢@⋮@a_n ) ]
=a_١ x_١ a_١+[((a_٢ … a_n )^T )^* y (a_٢ … a_n )^T ]=a_١ x_١ a_١+[a^* ya]
=a_١ x_١ a_١+|a| u^* yu|a|=a_١ x_١ a_١+|a|(u^* yu)|a|
از طرفي :
〖|a|〗^٢=〖(〖(a^* a)〗^(١/٢))〗^٢=a^* a=(a_٢^* … a_n^* ) ■(a_٢@⋮@a_n )
پس :
〖|a|〗^٢=a_٢^* a_٢+…+a_n^* a_n
همچنین |a|=√(1-a_١^* a_١ ). چون a_١ معكوس پذير است a_١^* a_١ وa_١^* نيز معكوس پذيرند و در نتیجه |a| نیز معکوس پذیر است. بنا بر این اگر u^* yu∈Kچون،
〖|a|〗^٢+a_1^2=a_١^2+a_٢^* a_٢+…+a_n^* a_n=a_١^٢+…+a_n^٢=1
و a_١ و |a| مثبت و معكوس پذيرند لذا طبق فرض چون برقراري شرط (2-2)، -A فرين بودن x را نتيجه مي‌دهد پسa_١ x=xa_١ , x=x_١. اکنون اگر همين روش را براي i=١,…,n ادامه دهيم خواهيم داشت :
x=x_١=…=x_n a_١ x=xa_١ ,…, a_n x=xa_n
(در اين حالت قرار مي‌دهيم ((a=(a_١,a_٢,…,a_n )^T ) , y=x_١+(⨁_(i=٣)^n x_i ).
اما دليل اينكه u^* yu∈K به اين ترتيب است كه :
a=u|a|=u(√(١-a_١^* a_١ ))
⟹u=a(〖(√(١-a_١^* a_١ ))〗^(-١) ) ⟹ u=〖(a_٢ 〖(√(١-a_١^* a_١ ))〗^(-١) , …. , a_n 〖√(١-a_١^* a_١ )〗^(-١))〗^T
⟹u^*=(a_٢^* 〖(√(١-a_١^* a_١ ))〗^(-١) ,…, a_n^* 〖(√(١-a_١^* a_١ ))〗^(-١))
⟹u^* yu=〖(١-a_١^* a_١)〗^(-١) (a_٢^* x_٢ a_٢+…+a_n^* x_n a_n)∈K
چونK، محدب است و
x_١,…,x_n∈K , ∑_(i=٢)^n▒〖〖(١-a_١^* a_١)〗^(-١) (a_i^* a_i)〗=〖(١-a_١^* a_١)〗^(-1) (١-a_١^* a_١ )=١
و a_iها (i=1,…,n) معكوس پذير و مثبت اند در نتيجه :
〖(١-a_١^* a_١)〗^(-١) (a_٢^* x_٢ a_٢+…+a_n^* x_n a_n)∈K■
تبصره 2-2-8: هر نقطه -A فرين يك نقطه فرين است.
اثبات:
فرض كنيم x∈K و A-فرين باشد طبق تبصره 2-2-7 كافي است شرط (2-2) درحالت n=2 برقرار باشد لذا :
x=a_١^* x_١ a_١+a_٢^* x_٢ a_٢ , a_١^* a_١+a_٢^* a_٢=1 , هستند پذیر معکوس a_١,a_٢
در شرط (2-2) a_١,a_٢ مثبت هستند و a_١^*=a_١ , a_٢^*=a_٢ پس شرط (2-1) برقرار است و طبق -Rفرين بودن x، a_١ x=xa_١ , a_٢ x=xa_٢ , x=x_١=x_٢. اکنون با در نظر گرفتن u_١=u_٢=I به عنوان عملگرهاي يكاني نتیجه می شود که :
x=x_١=I^* x_١ I=u_١^* x_١ u_١ ⟹ x∼x_١
x=x_٢=I^* x_٢ I=u_٢^* x_٢ u_٢ ⟹ x∼x_٢
پس x يك نقطه فرينC^* است.■
تبصره 2-2-9: اگر A يك جبر جابجايي باشد، هر نقطة -A فرين (و هر نقطه فرين ) يك نقطه فرين است ولي در حالت كلي تنها نقاط -A فرين، فرين هستند و نقاط فرين لزوماً فرين نيستند.
اثبات:
طبق تبصره 2-2-8 هر نقطه -A فرين، فرين است پس كافي است نشان دهيم در صورت جابجاییA، هر نقطه ی فرين، فرين است.
فرض كنيم x∈K⊆A يك نقطه ی فرين باشد و x=b_١ x_١+b_٢ x_٢ به طوري كه :
x=b_١+b_١=١ (b_١,b_٢∈R^+ )
چونx فرين است شرط (2-1) نتيجه مي‌دهد كه :
∃u_١,u_٢∈A , هستند همانی u_١,u_٢ و x=u_١^* x_١ u_١ , x=u_٢^* x_٢ u_٢
هم چنین∈A u_١,u_٢,x_١,x_٢ A وجابجايي است بنابراين :
x=u_٢^* u_٢ x_٢ , x=u_١^* u_١ x_١
پس :
x=u_١^* u_١ x_١=Ix_١=x_١ , x=u_٢^* u_٢ x_٢=Ix_٢=x_٢
لذا x، فرين است (توجه داريم كه به دليل جابجايي A برقراري شرط (2-1) برقراري شرط b_١+b_٢=١ , x=b_١ x_١+b_٢ x_٢ را نتيجه مي‌دهد چون :
x=a_١^* x_١ a_١+a_٢^* x_٢ a_٢=a_١^* a_١ x_١+a_٢^* a_٢ x_٢=b_١ x_١+b_٢ x_٢
به طوري كه .b_١+b_١=a_١^* a_١+a_١^* a_١=١ اکنون نشان مي‌دهيم كه در حالت كلي هر نقطه ی-A فرين، فرين است.
فرض كنيم x∈K⊆A يك نقطه ی -Aفرين باشد لذا شرط (2-2) براي
x=a_١ x_١ a_١+a_٢ x_٢ a_٢
نتيجه مي‌دهد كه a_١ x=xa_١ , a_٢ x=xa_٢ , x=x_١=x_٢. اکنون شرط (2-2) به شرط زیر تبدیل می شود :
x=a_١ x_١ a_١+a_٢ x_٢ a_٢=a_١ a_١ x_١+a_٢ a_٢ x_٢=a_١^* x_١+a_١^* x_١
=b_١ x_١+b_١ x_١ : b_١+b_٢=a_١^*+a_٢^*=١
كه اين شرط نتيجه مي‌دهد x=x_١=x_٢ پسx، فرين است.■
اكنون چند مثال از نقاط فرين را كه در مطرح شده و در و اثبات آنها آورده شده را بيان مي‌كنيم.
مثال2-2-10: فرض كنيم S={T∈M_n : ∥T∥≤١} مجموعه دايره يكه در M_n باشد آن‌گاه نقاط فرينC^*، دقيقاً همان طول پاها هستند.
طبق قضيه ی 1-1 از ]۸[، اگر x∈S طول پا يا هم طولپا باشد آن‌گاه x، فرينC^* است. از طرفي طبق نتيجه 2-1 از اگر x، فرينباشد (x∈S) آن‌گاه x طولپا و هم طولپاست. اما طبق تعريف 2-1-9، x يكاني است و در فضاهاي متناهي‌البعد يكاني ها و طولپاها يكي هستند. چون طبق قضيه 4-5-1 از هر دو فضاي هيلبرت داراي بعد يكسان، ايزومورفيك هستند پس اگرU:M_n⟶M_n يك طولپا باشد چون dim⁡〖M_n=dim⁡〖M_n 〗 〗 لذاU پوشا است و در نتيجه يكاني. بنابراين x∈S⊆M_n يك نقطه ی فرين است اگر و فقط اگر طولپا باشد.■
قضیه 2-2-11: اگر A={T : -١≤T≤١}⊆B(H) ان گاه S، C^*-محدب است و نقاط C^*-فرین A متعلق به مجموعه ی {٢E-1 : E≥0 و است تصویر E} هستند .
اثبات: ]10[، قضیه 27 .
مثال 2-2-12: فرض كنيم . نقاط فرين مجموعه یS دقيقاً همان تصاوير متعامد (شامل و 1) هستند.
اثبات:
فرض کنیم P یک تصویر باشد و P=P_١ x_١ P_١+P_٢ x_٢ P_٢ به طوری که :
P_١,P_٢>0 , 0≤x_i≤1 , P_١^٢+P_٢^٢=١.
اگر z∈PC^n باشد (M_n (C)=B(C^n))ان گاه :
<x_١ P_١ z , P_١ z>+<x_٢ P_٢ z , P_٢ z> =<P_١ x_١ P_١ z , z>+<P_٢ x_٢ P_٢ z , z>
=<(P_١ x_١ P_١+P_٢ x_٢ P_٢ )z , z> =<Pz , z >=<z , z>=<(P_١^٢+P_٢^٢ )z , z>
=<P_١^٢ z , z>+<P_٢^٢ z ,z>=<P_١ z ,P_١ z>+<P_٢ z ,P_٢ z>
و0≤x_i≤١ و <x_i P_i z , P_i z>=<P_i z ,P_i z>. بنابر این x_i=١ روی P_i PC^n. یک بحث مشابه نشان می دهد که x_i=0 رویP_i 〖(PC^n)〗^⊥ . بنابر این P_i PC^n∩P_i 〖(PC^n)〗^⊥={0} . از ان جایی که هر P_i معکوس پذیر است، P_i 〖(PC^n)〗^⊥ و P_i PC^n زیر فضاهای بسته هستند به طوری که :
dim⁡〖(PC^n )=dim⁡(P_i (PC^n )) 〗 و dim⁡(P_i 〖(PC^n)〗^⊥ )=dim⁡〖(〖(PC^n)〗^⊥)〗
و
C^n=P_i (PC^n )=P_i 〖(PC^n)〗^⊥
لذا برای هر i، C^n=M_i+N_i به طوری که M_i یک زیر فضای بسته است که روی ان x_i=١ و N_i یک زیر فضای بسته است که روی ان x_i=0 و M_i∩M_i={0} است. از ان جایی که هر x_i≥0 نتیجه می شود که هر x_i یک تصویر متعامد است و چون بعد ها در رابطه ی بالا برابر هستند پس x_i ها با P هم ارز یکاتی هستند.
برای اثبات عکس مطلب از قضیه 2-2-11 استفاده می کنیم. ادعا می کنیم اگر Q نقطه ی C^*-فرین از مجموعه S باشد ان گاه T=٢Q-١ یک نقطه ی C^*-فرین از A است. فرض کنیم T=P_١ x_١ P_١+P_٢ x_٢ P_٢ یک ترکیب محدب محض از {x_١ , x_٢}⊆A باشد به طوری که یک x_(i_0 ) ای وجود دارد که با T هم ارز یکانی نیست. فرض کنیم y_i=((١+x_i))⁄٢ ان گاه :
Q=P_١ y_١ P_١+P_٢ y_٢ P_٢
یک نمایش از Q به عنوان ترکیب محض از عناصر S است. اما از ان جایی که x_(i_0 ) با T هم ارز یکانی نیست و T=٢Q-١ پس y_(i_0 ) با Q هم ارز یکانی نیست که با C^*-فرین بودن Q در تناقض است. بنابر این T یک نقطه ی C^*-فرین از A است.اما طبق قضیه 2-2-12 ، T=٢E-١ پس ٢Q-١=٢E-١ که E≥0 و تصویر است.بنابر این Q یک تصویر است.
فصل چهارم
نقاط فرين C* (C* – فرين)
3-1: برد ماتريسي يك عملگر ازیک عامل:
در اين بخش قصد داريم ارتباط بين برد ماتريسي يك عامل و بستار ضعيف ستاره ی غلاف محدب آن را بيان كنيم. در واقع منظور از بستار ضعيف ستاره غلاف محدب يك نقطه- یx∈R (R يك عامل است) بستار 〖CO〗_R (x) در توپولوژي ضعيف ستاره است. ابتدا چند قضيه را كه براي بررسي اين ارتباط لازم است مطرح مي‌كنيم.
قضيه 3-1-1 (قضيه تعدي كديسون(3: فرض کنیمπ:A⟶B(H) يك نمايش تحويل‌ناپذير از – جبر A باشد و{x_١,…,x_n} يك مجموعه مستقل خطي درH و y_١,…,y_n∈H آن‌گاه عنصر a∈A موجود است به طوري كه π(a) x_j=y_j (j=1,…,n). اگر عنصر خود الحاق b∈B(H) موجود باشد به طوري كه y_j=bx_j (j=1,…,n)، a را مي‌توان خود الحاق در نظر گرفت. اگر عملگر يكاني V روي H موجود باشد كه (j=1,…,n) y_j=Vx_j،a را مي‌توان يك عنصر يكاني ازAبه شکل(exp⁡〖iH=e^iH)exp⁡iH 〗 كه H خود الحاق است، در نظر گرفت.
اثبات: [9] قضيه 1-2-10 .
توجه داشته باشيم كه در روند اثبات اين قضيه اين چنين نتيجه مي‌شود كه يكاني u_0 عضوπ(A) به فرم exp⁡〖iH_0 〗 موجود است كهH_0∈π(A) خود الحاق است و u_0 x_j=y_j. پس عنصر خود الحاق H در A موجود است كه π(H)=H_0 و u=exp⁡iH يك عملگر يكاني در A است به طوري كه :
π(u)=π(exp⁡〖iH)=exp⁡〖iπ(H)=exp⁡〖iH_0=u_0 〗 〗 〗
در واقع در قسمت آخر قضيه اگر عملگر يكاني V روي H موجود باشد كه y_j=Vx_j، آن‌گاه عملگر يكاني u درA موجود است كه مي‌توان a را به عنوان يك عملگر يكاني در نظر گرفت.
لم3-1-2: فرض كنيد A يك جبر يكاني باشد و a_١,…,a_m عناصر A وP يك حالت روي A باشد كه در بستار ضعيف ستاره ی حالت هاي محض است. آن‌گاه براي هر ε>0 عنصر h∈A موجود است به طوري كه ∥h^* (a_i-Pa_i )h∥<ε براي i=1,…,m .
اثبات:] 9[، لم 2-2.
قضيه 3-1-3 : فرض كنيم R يك عامل باشد و A⊆R يك زير عامل از آن (شامل يكه R) به طوري كه n∈N اي موجود است كه A با M_n ايزومورفيك است.آن‌گاه :
(〖CO〗_R ) ̅(x)∩A=W_n (x) ∀x∈R
جايي كه توسط يكي كردن A با M_n (با استفاده از يك *- ايزومورفيسم)، W_n (x) به عنوان يك زير مجموعه از A در نظر گرفته مي‌شود. حتي براي نگاشت كاملاً مثبت يكاني φ:A→R و هر زير مجموعه C^*-محدب فشرده ی ضعيف ستاره یK از R، φ(K)⊆K.
اثبات:
فرض كنيم y∈(〖CO〗_R ) ̅(x)∩A باید نشان دهيم y∈W_n نيز است. چون y∈(〖CO〗_R ) ̅(x) بنابراين نت (y_υ)⊆(〖CO〗_R ) ̅(x) موجود است به طوري كه y_υ □(→┴SOT ) y. از طرفي نگاشت f:R⟶R با تعریف ∀ w∈R f(w)=∑_(j=1)^n▒〖a_j^* wa_j 〗يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني براي a_١,…,a_n هاي عضو R است كه ∑_(j=1)^n▒〖a_j^* a_j 〗=١. این مطلب از قضیه 1-4-6 نیز نتیجه می شود اما به طور مستقیم نیز می توان ان را نشان داد. فرض كنيم x⨂w يك عنصر مثبت در M_n⨂R باشد پس 〖(x⨂w)〗^*=x⨂w. از آن جايي كه هر عنصر عضو M_n⨂R مثل x⨂w به صورت یک ماتریس n×n ، (■(w 0&⋯&0@⋮&⋱&⋮@0 0&⋯&0)) است لذا :
〖((〖id〗_n⨂f)(x⨂w))〗^*=〖(x⨂f(w))〗^*=〖(x⨂(∑_(j=1)^n▒〖a_j^* wa_j 〗))〗^*=(■(∑_(j=1)^n▒〖a_j^* wa_j 〗&0@0&0))^*
=〖[ ■(a_1^* … a_n^*@0)■(w&&0@ &⋱&@0&&w) ■(a_1&@⋮&0@a_n&) ]〗^*
=■(a_1&@⋮&0@a_n&)^( *) ■(w&&0@&⋱&@0&&w)^( *) ■(a_1&…&a_n@&&@&0&)^( *)
= ■(a_1^*&…&a_n^*@&&@&0&) ■(w^*&&0@ &⋱&@0&&w^* ) ■(a_1&&@⋮&&0@a_n&&)
= ■(a_1^*&…&a_n^*@&&@&0&) ■(w&&0@&⋱&@0&&w) ■(a_1&&@⋮&&0@a_n&&)
=(■(∑_(j=1)^n▒〖a_j^* wa_j 〗&0@0&0))=x⨂∑_(j=1)^n▒〖a_j^* wa_j 〗=x⨂f(w)=(〖id〗_n⨂f)(x⨂w)

پس 〖id〗_n⨂f هر عنصر خودالحاق را به يك عنصر خودالحاق مي‌نگارد. چون 〖id〗_n⨂f يك *- همومورفسم است بنابراين طبق قضيه 8-1-4 از ،
sp((〖id〗_n⨂f)(x⨂w))≤sp(x⨂w)
و چون x⨂w مثبت است پس sp(x⨂w)≥0. بنابراينsp((〖id〗_n⨂f)(x⨂w))≥0 لذا،〖id〗_n⨂f يك نگاشت مثبت است چون هر عنصر مثبت را به يك عنصر مثبت مي‌نگارد.
از طرفی نگاشت f:R⟶R يك نگاشت يكاني براي a_1,…,a_n∈R است كه، ∑_(j=1)^n▒〖a_j^* a_j 〗=١ چون :
f(I)=∑_(j=1)^n▒〖a_j^* Ia_j 〗=∑_(j=1)^n▒〖a_j^* a_j 〗=١
پس مي‌توان نتيجه گرفت كه W_n (y_υ )⊆W_n (x) چون اگر a∈W_n (y_υ) آن‌گاه طبق تعريف W_n (y_υ)، انديس υموجود است به طوري كه :
φ:〖CO〗_R (x)⟶M_n , y_υ∈〖CO〗_R (x) , a∈φ(y_υ)
نگاشتي كاملاً مثبت و يكاني است. بنابراين x∈R موجود است به طوري كه :
a=φ(y_υ ) , ∑_(j=1)^n▒〖a_j^* a_j 〗=١ , y_υ=∑_(j=1)^n▒〖a_j^* xa_j 〗
اکنون براي آنكه a∈W_n (x) باشد بايد x∈R موجود باشد به طوري كه براي نگاشت كاملاً مثبت و يكانيa=T(x) ،T . اما طبق مطالب بالا تابع f:R⟶〖CO〗_R (w) يك نگاشت كاملاًمثبت و يكاني پوشاست لذا :
∃ x∈R : a=φ(y_υ )=φ(∑_(j=1)^n▒〖a_j^* x_j a_j 〗)=φf(x)=T(x) : T=φ∘f
كه T يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني از R به M_n است (φ,f هر دو كاملاً مثبت و يكاني هستند). بنابراين a∈W_n (x). پس W_n (y_υ)⊆W_n (x) به ازاي همه υ ها.
از طرفي y_υ⟶yکه y_υ∈〖CO〗_R (x) , y∈(〖CO〗_R ) ̅(x) پس W_n (y)⊆W_n (x). چون كه تابع φ:R⟶R با تعريف φ(w)=∑_(j=1)^n▒〖a_j^* wa_j 〗 يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني است. لذا φ يك تابع پيوسته است. چرا كه اگر فرض كنيم U يك همسايگي اطراف φ(x) باشد و δ>0 موجود باشد كه براي هر ∥y-x∥<δ , y∈R آن‌گاه چون :
∥φ(y)-φ(x)∥=∥φ(y-x)∥=∥∑_(j=1)^n▒〖a_j^* (y-x) a_j 〗∥=
∥(■(∑_(j=1)^n▒〖a_j^* (y-x)a_j 〗&0@0&0))∥ ■(a_1^*&…&a_n^*@&&@&0&) ■(y-x&&0@&⋱&@0&&y-x )■(a_1&&@⋮&&0@a_n&&) ∥
≤∥ ■(a_1^*&…&a_n^*@&&@&0&) ∥ ∥ ■(y-x&&0@&&@0&&y-x) ∥ ∥ ■(a_1&&@⋮&&0@a_n&&) ∥
=δ∥(■(∑_(j=1)^n▒〖a_j^* a_j 〗&0@0&0))∥=δ ∥(■(1&0@0&0))∥=δ ⟹ ∥φ(y0-φ(x)∥<δ
⟹ φ(y)∈U.
پس وقتي y_υ⟶y به دلیل پیوستگی φ، φ(y_υ)→φ(y).
از طرفی φ(y_υ)∈W_n (y_υ)⊆W_n (x) و W_n بسته، لذا φ(y)∈W_n (y_υ)⊆W_n (x) پس W_n (y)⊆W_n (y_υ)⊆W_n (x) در نتیجه W_n (y)⊆W_n (x). ولی از انجایی که y∈A≅M_n لذاφ:A→A≅M_n يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني است به طوري كه :
∃ y∈A : φ(y)=y
پس y∈W_n (y)⊆W_n (x) در نتیجه y∈W_n (x).
بر عكس فرض كنيم y∈W_n (x) باید ثابت كنيمy∈(〖CO〗_R ) ̅(x). چون y∈W_n (x) لذا نگاشتφ:R→A≅M_n موجود است که φ يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني است به طوري كه :
∃ x∈R : φ(x)=y
چونM_n=B(C^n) بنابراين طبق گزاره 1-4-3 (نمايش اشتاين اسپرينگ) :
φ(w)=V^* σ(w)V (w∈R)و σ:R→B(K) , V:C^n→K
جايي كه يك *- همومورفيسم يكاني و K يك فضاي هيلبرت است و V يك طولپا است. (بدون از دست دادن كليت مطلب فرض مي‌كنيم اين نمايشσ، مينمال نيز است). از طرفي R≅M_n (B) به طوری كه B=A’∩R. چون اولاً طبق] 9[، صفحه 427 ،پاراگراف قبل از لم 6-6-2، وقتی n⨂B مجموعه ی همه ی عملگرهای عضو B(H ̃) باشد که H ̃ جمع مستقیم n کپی H_b از H(وقتی جبر فون نویمان R روی فضای هیلبرت H عمل می کند)_n-امین جمع مستقیم H با خودش_است یعنی n⨂B همان M_n (B) ،جبر فون نویمان ماتریسی شامل ماتریس های n×n با درایه های در B است و دوماً طبق] 9[ صفحه 429 پاراگراف قبل از لم 6-6-3 و طبق این فرض که A≅M_n می توان ماتریس های یکه و n×n ، E_ij را که درایه های واقع در سطر i ام و ستون j ام ان ها 1 و بقیه درایه ها صفر هستند، در A انتخاب کرد به طوری که خانواده ی 〖(E_ij)〗_(i,j=١,…,n) دارای خواص زیر است :
١) {█(E_ij E_kl=0 j≠k@E_ij E_jk=E_ij )┤
٢)∑_(i=1)^n▒E_ii =I
٣) E_ij^*=E_ij
به این خانواده، یک دستگاه خود الحاق می گوییم.
اکنون طبق ] 9[ لم 6-6-2، چون R یک جبر فون نویمان است که روی فضای هیلبرت H عمل می کند و A جبر به وجود امده از دستگاه خود الحاق 〖(E_ij)〗_(i.j=1,…,n) است لذا A’ شامل همه ی ان عناصر B(H) می باشد که با تمام E_ij ها (یعنی با تمام عناصرA ) جا بجا می شود. بنا بر این B=A’∩R یک زیر جبر از R شامل همه ی عناصری از R است که با عناصر مذکور جا بجا می شوند. لذا، φ:R→M_n (B) با تعریف زیر ،
∀ T∈R φ(T)=〖[T_ij]〗_(i,j=1,…,n)=[〖∑_(k=1)^n▒〖E_ki TE_jk 〗]〗_(i,j=1,…,n) , ∑_(k=1)^n▒〖E_ki TE_jk 〗 〖□(→┴SOT ) T〗_ij
یک *-ایزومورفیسم از R به M_n (B) است در نتیجهR≅M_n (B) .
از آنجايي كه R≅M_n (B) بنابراين نمايش π از B به روي فضاي هيلبرت H وجود دارد به طوري كه K=H^n وσ هم ارز يكاني π_n:M_n (B)→M_n (B(H)) است به طوري كه :
π_n ([b_ij



قیمت: تومان

دسته بندی : مقاله و پایان نامه

دیدگاهتان را بنویسید