دانشکده مهندسی مکانيک
بخش مکانیک جامدات
پايان نامه کارشناسي ارشد
رشته مهندسي مکانیک -گرایش طراحی کاربردی
شناسایی ضرایب سختی و میرایی تکیهگاه تیر طرهای

توسط:
مجید عابدی

استاد راهنما:
دکتر محمد رحیم همتیان

بهمن 1392

به پاس تعبیر عظیم و انسانی‌شان از کلمه ایثار و از خودگذشتگان،
به پاس عاطفه سرشار و گرمای امیدبخش وجودشان که در این روزگار سرد بهترین پشتیبان است،
به پاس قلب‌های بزرگشان که فریادرس است و سرگردانی و ترس در پناهشان به شجاعت می‌گراید
و به پاس محبت‌های بی‌دریغشان که هرگز فروکش نمی‌کند،
این مجموعه را به پدر و مادر عزیزتر از جانم تقدیم می‌کنم
سپاسگزاری
سپاس و ستایش خداوندی را سزاست که کسوت هستی را بر اندام موزون آفرینش بپوشانید و تجلیات قدرت لایتزالی را در مظاهر و آثار طبیعت نمایان گردانید. بار الهی من با یاد تو، به تو تقرب می‌جویم و تو را به پیشگاه تو شفیع می‌آورم و از تو خواستارم، به کرمت مرا به خودت نزدیک گردانی و یاد خود را به من الهام کنی و بر من رحمت آوری و به آنچه بهره و نصیب من ساخته‌ای، خشنودم قرار دهی و در همه حال به فروتنی‌ام وا داری.
و به مصداق “من لم یشکر المخلوق لم یشکر الخالق” بسی شایسته است از استاد فرهیخته و فرزانه جناب آقای دکتر محمد رحیم همتیان که با کرامتی چون خورشید، سرزمین دل را روشنی بخشیدند و گلشن سرای علم و دانش را با راهنمایی‌های کار ساز و سازنده بارور ساختند، تقدیر و تشکر نمایم. همچنین از اساتید فرهیخته آقایان دکتر علیرضا اصنافی و دکتر امیر خسروی‌فرد که وقت خود را بی‌شائبه در اختیار من گذاشته و با دقت نظر خاصی مشاوره لازم در این خصوص ارائه نمودند صمیمانه تشکر و قدردانی می‌نمایم. همچنین از کلیه معلمان و اساتید دوران تحصیلم از ابتدا تاکنون صمیمانه تشکر و قدردانی می‌نمایم.
امید است که در زندگی خود همواره کامروا و پیروز باشند و بتوانم گوشه‌ای از زحمات ایشان را جبران نمایم…
چکيده
شناسایی ضرایب سختی و میرایی تکیهگاه تیر طرهای
به کوشش:
مجید عابدی
تکیه‌گاه‌ها و اتصالات نقش اساسی و مهمی را در سازه‌های مهندسی ایفا می‌کنند. شناسایی پارامترهای مختلف تکیه‌گاهی ضروری میباشد. پارامترهای سفتی و میرایی مهمترین پارامترهای یک تکیه‌گاه به شمار می‌روند. در این پایان‌نامه یک روش معکوس بر پایه داده‌های اندازهگیری دینامیکی کرنش و شتاب برای شناسایی و بررسی ضرایب سفتی و میرایی تکیه‌گاههای تیرهای طره‌ای و دو سر درگیر بکار برده شده است. به همین منظور، با استفاده از روش حداقل مربعات يک مسأله بهينهسازی تعريف شده است و سپس به حل آن پرداخته شده است. در تیر طرهای تأثیر پارامترهای مختلفی از قبیل مقدار خطای اندازهگیری، تعداد دادههای اندازهگیری، نوع دادهها (کرنش یا شتاب)، حدس اولیه، محل نصب حسگر، تعدا حسگرها، بازه زمانی اعمال نیرو، مقادیر پارامترهای سفتی و میرایی، زمان دادهبرداری بر پاسخ تحلیل معکوس مورد بررسی قرار گرفتهاند. در تیر دو سر درگیر تنها به بررسی تأثیر مقدار خطای اندازهگیری، تعداد دادههای اندازهگیری، نوع دادهها و تعداد حسگرها بر نتایج پرداخته شده است.
نتایج نشان میدهند که مسأله تیر دو سر درگیر بسیار مشکلتر از مسأله تیر یک سر درگیر است. استفاده از دادههای شتاب در مسأله تیر طرهای منجر به نتایج بهتری میشود. با بررسی دقیق نتایج عددی بدست آمده، تلاش شده است تا به سؤالات و مشکلاتی که ممکن است در طول آزمون عملی رخ می دهد، پاسخ داده شود.
واژههای کلیدی: تحلیل معکوس، تکیهگاه تیر، ضریب سفتی، ضریب میرایی، دادههای اندازهگیری دینامیکی
فهرست مطالب
عنوانصفحه1- فصل اول: مقدمه2
1-1- اهمیت موضوع2
1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن5
2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین8
2-1- مقدمه8
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها8
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس9
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای10
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد11
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب11
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها12
3- فصل سوم: مبانی تئوری17
3-1- مقدمه17
3-2-روند کلی حل یک مسأله معکوس18
3-2-1-تعریف مسأله20
3-2-2-ارائه مدل مستقیم20
3-2-3-محاسبه حساسیت بین خروجیها و پارامترها20
3-2-4-طراحی آزمایش21
3-2-5-کمینه کردن خطای اندازهگیری21
3-2-6-بکارگیری فرمولبندی معکوس21
3-2-7-بازبینی پاسخ22
3-3-مفاهیم اساسی مسائل معکوس22
3-4-فرمولبندی معکوس28
3-5-انتخاب خروجیها30
3-6-هموارسازی برای مسائل بدنهاده31
3-7- روشهای بهینهسازی33
3-7-1- روشهای جستجوی مستقیم36
3-7-2- روشهای جستجو بر پایه گرادیان37
3-7-3-روش غیرخطی حداقل مربعات37
3-7-4-روشهای پیدا کردن ریشه38
3-7-5-الگوریتمهای ژنتیک38
3-7-6-نکاتی در خصوص روشهای بهینهسازی39
4- فصل چهارم: نحوه انجام تحقیقError! Bookmark not defined.
4-1-مقدمهError! Bookmark not defined.
4-2-تشریح مدل پیشنهادیError! Bookmark not defined.
4-3- فرمولبندی تحلیل معکوسError! Bookmark not defined.
4-3-1-محاسبه ماتریس حساسیتError! Bookmark not defined.
4-3-2-شبیهسازی دادههای اندازهگیریError! Bookmark not defined.
4-3-3-انجام محاسبات در نرم افزارError! Bookmark not defined.
4-5- بررسی تأثیر پارامترهای مختلف بر پاسخ زمانمند تیرطرهایError! Bookmark not defined.
4-5-1-بررسی تأثیر بازه اعمال نیرو بر پاسخ تیر طرهایError! Bookmark not defined.
4-5-2-بررسی تأثیر ضریب سفتی بر پاسخ تیر طرهایError! Bookmark not defined.
4-5-3-بررسی تأثیر ضریب میرایی بر پاسخ تیر طرهایError! Bookmark not defined.
5- فصل پنجم: مثالهای عددیError! Bookmark not defined.
5-1-مقدمهError! Bookmark not defined.
5-2-بررسی تیر یک سر درگیر (تیر طرهای)Error! Bookmark not defined.
5-2-1-بررسی تأثیر خطای اندازهگیری بر پاسخ معکوس در تیر طرهایError! Bookmark not defined.
5-2-2-بررسی روند همگرایی پاسخ معکوس در تیر طرهایError! Bookmark not defined.
5-2-3-بررسی تأثیر محل قرارگیری حسگر بر پاسخ معکوس در تیر طرهایError! Bookmark not defined.
5-2-4-بررسی تأثیر تعداد دادههای اندازهگیری بر پاسخ معکوس در تیر طرهایError! Bookmark not defined.
5-2-5-بررسی تأثیر تعداد حسگر بر پاسخ معکوس در تیر طرهایError! Bookmark not defined.
5-2-6-بررسی تأثیر مقدار حدس اولیه بر پاسخ معکوس در تیر طرهایError! Bookmark not defined.
5-2-7-بررسی تأثیر زمان اعمال نیرو بر پاسخ معکوس در تیر طرهایError! Bookmark not defined.
5-2-8-بررسی تأثیر اختلاف زمانی بر پاسخ تیر طرهایError! Bookmark not defined.
5-2-9-بررسی تأثیر زمان دادهبرداری بر پاسخ معکوس در تیر طرهای بدون در نظر گرفتن اختلاف زمانیError! Bookmark not defined.
5-2-10-بررسی تأثیر زمان دادهبرداری بر پاسخ معکوس در تیر طرهای با در نظر گرفتن اختلاف زمانیError! Bookmark not defined.
5-2-11-بررسی تأثیر محل اعمال نیرو بر پاسخ معکوس در تیر طرهایError! Bookmark not defined.
5-2-12-بررسی تأثیر مقدار ضریب میرایی بر پاسخ معکوس در تیر طرهایError! Bookmark not defined.
5-2-13-بررسی تأثیر مقدار ضریب سفتی بر پاسخ معکوس در تیر طرهایError! Bookmark not defined.
5-3-بررسی تیر دو سر درگیرError! Bookmark not defined.
5-3-1-بررسی تأثیر خطای اندازهگیری بر پاسخ معکوس در تیر دو سر درگیرError! Bookmark not defined.
5-3-2-بررسی تأثیر تعداد دادههای اندازهگیری بر پاسخ معکوس در تیر دو سر درگیرError! Bookmark not defined.
5-3-3-بررسی تأثیر تعداد حسگرها بر پاسخ معکوس در تیر دو سر درگیرError! Bookmark not defined.
6- فصل ششم: نتیجه گیری و پیشنهاداتError! Bookmark not defined.
6-1-مقدمهError! Bookmark not defined.
6-2-نتیجهگیریError! Bookmark not defined.
6-3-پیشنهاداتError! Bookmark not defined.
مراجع و منابع42
فهرست شکل‌ها
عنوانصفحهشکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای ……………………………………………………………………………4شکل (3-1): روند کلی حل یک مسأله معکوس ……………………………………………………………………..19شکل (3-2): میله مستقیم با سطح مقطعهای متفاوت، ساخته شده از دو ماده، تحت نیروهای f_1 و f_2 ………………………………………………………………………………………………………………………23شکل (3-3): میله مستقیم با سطح مقطع یکنواخت A تحت نیروی f …………………………………..25شکل (3-4): مقایسه بین جابجایی دقیق و اندازهگیری شده در یک میله مستقیم ………………..26شکل (3-5): مقایسه مقدار نیروی تخمین زده شده بر حسب مقدار واحد نیروی دقیق …………27شکل (4-1): تیر طرهای معادل شده ………………………………………………………………………………………44شکل (4-2): شماتیک تیر طرهای تحت نیروی زمانمند …………………………………………………………50شکل (4-3): نمودار نیرو بر حسب زمان …………………………………………………………………………………50شکل (4-4): سیستم جرم-فنر معادل با تیر طرهای ……………………………………………………………….51شکل (4-5): نمودار کرنش-زمان تیر طرهای با تکیهگاه ایدآل تحت اثر ضربه برای مقادیر مختلف t^* ……………………………………………………………………………………………………………………………….53شکل (4-6): سیستم جرم-فنر معادل شده برای تیر طرهای معادل شده ……………………………….54شکل (4-7): نمودار کرنش-زمان تیر طرهای تحت اثر ضربه برای مقادیر مختلف پارامتر بیبعد شده k^* …………………………………………………………………………………………………………………………56شکل (4-8): نمودار کرنش-زمان تیر طرهای تحت اثر ضربه برای مقادیر مختلف c^* ……………..58شکل (5-1): تیر طرهای معادل شده (تکرار شکل (4-1)) ……………………………………………………..62شکل (5-2): شماتیکی از نقطه دادهبرداری (نقطه A) و محل اعمال نیرو در تیر طرهای ……….63شکل (5-3): نمودار کرنش-زمان نقطه A از تیر معادل شده تحت اثر ضربه در انتهای تیر در تیر طرهای ………………………………………………………………………………………………………………………….63شکل (5-4): نمودار شتاب-زمان نقطه A از تیر معادل شده تحت اثر ضربه در انتهای تیر در تیر طرهای ……………………………………………………………………………………………………………………………….64شکل (5-5): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای خطاهای مختلف اندازهگیری با در نظر گرفتن دادههای کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………65شکل (5-6): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای خطاهای مختلف اندازهگیری با در نظر گرفتن دادههای شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای …………………………………………….66شکل (5-7): روند همگرایی پاسخ تحلیل معکوس با در نظر گرفتن دادههای کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ………………………………………………………………………………………………..67شکل (5-8): روند همگرایی پاسخ تحلیل معکوس با در نظر گرفتن دادههای شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ………………………………………………………………………………………………..68شکل (5-9): شماتیکی از نقاط قرارگیری حسگر در تیر طرهای ……………………………………………..69شکل (5-10): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مکانهای مختلف اندازهگیری با در نظر گرفتن دادههای کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………69شکل (5-11): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مکانهای مختلف اندازهگیری با در نظر گرفتن دادههای شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای …………………………………………….70شکل (5-12): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد دادههای اندازهگیری و با در نظر گرفتن دادههای کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………71شکل (5-13): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد دادههای اندازهگیری و با در نظر گرفتن دادههای شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای …………………………………………….71شکل (5-14): شماتیکی از نقاط دادهبرداری (نقاط A و B) در تیر طرهای ……………………………..72شکل (5-15): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد کرنشسنجها در تیر طرهای …………73شکل (5-16): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد شتابسنجها در تیر طرهای ………….73شکل (5-17): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف حدس اولیه و با در نظر گرفتن دادههای کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………74شکل (5-18): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف حدس اولیه و با در نظر گرفتن دادههای شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای …………………………………………….75شکل (5-19): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف زمان اعمال نیرو و با در نظر گرفتن دادههای کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………..76شکل (5-20): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف زمان اعمال نیرو و با در نظر گرفتن دادههای شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ………………………………………77شکل (5-21): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف ∆t و با در نظر گرفتن دادههای کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………………….78شکل (5-22): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف ∆t و با در نظر گرفتن دادههای شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ………………………………………………………..78شکل (5-23): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف t_3/t_2 و با در نظر گرفتن دادههای کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای، بدون در نظر گرفتن اختلاف زمانی 80شکل (5-24): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف t_3/t_2 و با در نظر گرفتن دادههای شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای، بدون در نظر گرفتن اختلاف زمانی . 80شکل (5-25): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف t_3/t_2 و با در نظر گرفتن دادههای کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای و با در نظر گرفتن اختلاف زمانی .82شکل (5-26): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف t_3/t_2 و با در نظر گرفتن دادههای شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای و با در نظر گرفتن اختلاف زمانی ..82شکل (5-27): شماتیکی از نقاط اعمال نیرو در تیر طرهای …………………………………………………….83شکل (5-28): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مکانهای مختلف اعمال نیرو با در نظر گرفتن دادههای کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………84شکل (5-29): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مکانهای مختلف اعمال نیرو با در نظر گرفتن دادههای شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای …………………………………………….84شکل (5-30): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف c^* با در نظر گرفتن دادههای کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………………….86شکل (5-31): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف c^* با در نظر گرفتن دادههای شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ………………………………………………………..86شکل (5-32): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف k^* با در نظر گرفتن دادههای کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ……………………………………………………….87شکل (5-33): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای مقادیر مختلف k^* با در نظر گرفتن دادههای شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر طرهای ………………………………………………………..88شکل (5-34): تیر دوسر درگیر معادل شده ……………………………………………………………………………89شکل (5-35): شماتیکی از نقطه دادهبرداری (نقطه A) و محل اعمال نیرو در تیر دو سر درگیر ………………………………………………………………………………………………………………………………………90شکل (5-36): نمودار کرنش-زمان نقطه A از تیر معادل شده تحت اثر ضربه در وسط تیر در تیر دو سر درگیر …………………………………………………………………………………………………………………90شکل (5-37): نمودار شتاب-زمان نقطه A از تیر معادل شده تحت اثر ضربه در وسط تیر در تیر دو سر درگیر …………………………………………………………………………………………………………………91شکل (5-38): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای خطاهای مختلف اندازهگیری با در نظر گرفتن دادههای کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر دو سر درگیر …………………………………..92شکل (5-39): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای خطاهای مختلف اندازهگیری با در نظر گرفتن دادههای شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر دو سر درگیر ……………………………………92شکل (5-40): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد دادههای اندازهگیری و با در نظر گرفتن دادههای کرنش به عنوان داده اندازهگیری در تیر دو سر درگیر …………………………………..94شکل (5-41): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد دادههای اندازهگیری و با در نظر گرفتن دادههای شتاب به عنوان داده اندازهگیری در تیر دو سر درگیر ……………………………………95شکل (5-42): شماتیکی از نقاط دادهبرداری (نقاط A و B) در تیر دو سر درگیر …………………..96شکل (5-43): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد کرنشسنجها در تیر دو سر درگیر 96شکل (5-44): خطای پاسخ تحلیل معکوس به ازای تعداد شتابسنجها در تیر دو سر درگیر 97
فهرست نشانههاي اختصاري

Aمساحت سطح مقطع تیرbعرض تیرc_0ثابت انتگرالگیریc_tدمپر پیچشی خطی ویسکوز در تیر یک سر درگیرc_1دمپر پیچشی خطی ویسکوز تکیهگاه سمت چپ تیر دو سر درگیرc_2دمپر پیچشی خطی ویسکوز تکیهگاه سمت راست تیر دو سر درگیرc_sمیرایی ساختاری تیرc^*دمپر خطی بیبعد شده تیر طرهای(c_t )_effدمپر پیچشی معادلEمدول الاستیسیتهE_kt,E_ctدرصد خطای ایجاد شده در پاسخ تحلیل معکوس تیر طرهایE_k1,E_k2,E_c1,E_c2درصد خطای ایجاد شده در پاسخ تحلیل معکوس تیر دو سر درگیرeسطح خطای اندازهگیری، تلورانسF_0مقدار بیشینه نیروی ضربهfنیروی اعمالی به تیرg(X)قید نامساوی در فرمولبندی بهینهسازیhضخامت تیرh(X)قید مساوی در فرمولبندی بهینهسازیI_zگشتاور دوم سطح حول محور k_tفنر پیچشی خطیk^*فنر خطی بیبعد شده تیر طرهایk_beamضریب سفتی تیر طرهای(k_t )_effفنر پیچشی معادلk_eqفنر خطی معادل تیر طرهایk_1فنر پیچشی تکیهگاه سمت چپ تیر دو سر درگیرk_2فنر پیچشی تکیهگاه سمت راست تیر دو سر درگیرl,Lطول تیرMتعداد حسگرهاM_zممان خمشی حول محور m_eqجرم معادل تیر طرهایm_beamجرم تیرNتعداد دادههای هر حسگرN_tتعداد کل دادههای اندازهگیریPتعداد مجهولات تحلیل معکوسPبردار پارامتریQتعداد تکرارهای انجام شدهqشماره تکرارSماتریس حساسیتuجابجایی محوری تیرT_beamدوره تناوب تیر طرهایt_1زمان دوره صعودی نیروی ضربهt_2زمان کل اعمال نیروی ضربهt_3زمان دادهبرداری دادههای حسگرt^*نسبت زمان اعمال نیروی ضربه به دوره تناوب تیرXبردار خروجی تحلیل معکوسx_A,x_Bمحل نصب حسگر(x,y,z)مختصات دکارتی تیرYبردار ورودی تحلیل معکوسαخطای نسبیεپارامتر مشتقگیریε_xکرنش در جهت محور تیرρچگالیυنسبت پواسونω_beamفرکانس تیر طرهایω_noiseفرکانس توزیع خطاΠتابع هدفΔtنسبت اختلاف زمانی بین دادههای نیرو و کرنش (شتاب)

فصل اول

مقدمه

1- فصل اول: مقدمه

1-1- اهمیت موضوع
ارتعاشات اجسام مختلف سالهاست که مورد تحقیق و بررسی پژوهشگران و محققان بالاخص دانشمندان علوم مکانیک، فیزیک و ریاضیات بوده و هست. شناسایی و تحلیل ارتعاشات سیستمهای مکانیکی و به دنبال آن محاسبه فرکانسها و مودهای طبیعی1 همواره خود را به صورت یک مسأله مهم در علم مکانیک در راستای طراحی، شناسایی عیوب و کنترل این سیستمها مطرح کرده است. از طرفی تحلیل و بررسی ارتعاشات سیستمهای پیوسته نیازمند اطلاع دقیق از هندسه، خواص فیزیکی و مکانیکی، بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی2 حاکم بر سیستم است. این درحالی است که غالباً مدل کردن این پارامترها در قالب یک مسأله ریاضی میتواند بسیار چالش برانگیز و در عین حال بسیار مؤثر و مهم باشد. لذا مدل کردن هرچه دقیقتر و واقعیتر این پارامترها کمک بسیار شایانی در راستای طراحی، کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم تلقی میشود.
یکی از این اجزاء، تکیهگاهها3 هستند. اصولاً محل اتصال یک سازه به پی و یا سازه دیگر را تکیهگاه گویند. به طور کلی تکیهگاهها را میتوان به دستههای تکیهگاه مفصلی ثابت4، تکیهگاه مفصلی متحرک5 (غلطکی)، تکیهگاه گیردار6 (صلب)، تکیهگاه فنری یا ارتجاعی7 و غیره تقسیمبندی نمود. هر کدام از تکیهگاههای مذکور دارای تعداد درجه آزادی8 مشخصی هستند. البته درجات آزادی مورد نظر که برای انواع تکیهگاههای مذکور تعریف شدهاند و در تحلیلها مورد استفاده قرار میگیرند، در حقیقت یک تعریف ایدآل از نوع تکیهگاهها هستند و ممکن است این تکیهگاهها در واقعیت رفتاری متفاوت داشته باشند، که این امر میتواند بر پاسخ سیستم مکانیکی تأثیرات متفاوتی داشته باشد. به همین دلیل در طراحی و تحلیل سیستمهای سازهای توجه به تکیهگاهها و اتصالات و نوع عملکرد آنها امری اجتنابناپذیر به شمار میرود. تکیهگاههای مختلف را توسط اتصالات مختلف از قبیل جوش، پرچ، پین، پیچ، رولر و غیره با ویژگیهای خاص خود در راستای ارضاء نیاز از پیش تعریف شده در سیستمهای مکانیکی متفاوتی از قبیل تیر، ورق، قاب، بال، انواع پوستهها و غیره ساخته و بکار گرفته میشوند.
ازجمله سازههای پرکاربرد در مهندسی، تیرهای یک سر درگیر9 (تیرهای طرهای) هستند. اصولاً به تیری طرهای گفته میشود که یک سر آن ثابت (صلب) و سر دیگر آن آزاد باشد و بتواند آزادانه حرکت کند. همانطور که میدانیم در حالت ایدآل دﺭ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺍﻳﻦ ﻧﻮﻉ تیرها ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ﺩﺭﺟﻪ ﺁﺯﺍﺩﻱ ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﺑﻪ ﻋﺒﺎﺭﺕ ﺩﻳﮕﺮ ﺩﺭ ﻣﺤﻞ ﺗﻜﻴﻪﮔﺎﻩ ﺣﺮﻛﺖ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ10 ﻭﺟﻮﺩ ﻧﺪﺍﺭﺩ ﻳﻌﻨﻲ ﻫﺮ ﺩﻭ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻜﺎﻥ ﺍﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻭ ﭼﺮﺧﺸﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.
تیرهای طرهای در صنایع مختلفی چون صنایع نظامی، هوایی، ساختمانی و غیره کاربردهای مهمی دارند. به عنوان مثال بال هواپیما، کاوشگر نیروی اتمی، جرثقیلهای ساختمانی، پلها و غیره میتوانند یک تیر یک سر درگیر محسوب شوند. در شکل (1-1)، برخی از کاربردهای تیر طرهای به تصویر کشیده شده است.
شکل (1-1): کاربردهایی از تیرهای طرهای [1] واضح است که تکیهگاهها در یک سیستم مکانیکی میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری11 آن سیستم را به شدت تحت تأثیر خود قرار میدهند و از آنجایی که میرایی و انعطاف یک سیستم شدیداً بر پاسخ ارتعاشی آن تأثیر میگذارد، ارائه مدلهایی که بتوانند هرچه دقیقتر و واقعیتر میزان آثار نشأت گرفته از قیود را محاسبه کنند، ضروری و اجتناب ناپذیر خواهد بود. همچنین همه مواد دارای مقدار مشخصی میرایی ساختاری12 هستند که این مقدار به جنس و ساختار آن ماده وابسته است و میزان این میرایی نیز بسته به جنس ماده و سیستم مورد نظر میتواند تأثیرگذار باشد [1].

1-2- هدف از انجام این پایان‌نامه و مراحل انجام آن
همانگونه که اشاره شد، تحلیل دقیق سیستمهای مکانیکی همچون تیرها نیازمند اطلاع هرچه واقعیتر از برخی پارامترها ازجمله آثار تکیهگاهی و میرایی ساختاری آن سیستم است. از طرفی یکی از مهمترین آثار ناشی از یک تکیهگاه در یک سیستم، میزان اتلاف انرژی و انعطافپذیری نشأت گرفته از آن تکیهگاه در سیستم است. طراحی، تحلیل و بررسی، فرآیند کنترل و شناسایی عیوب یک سیستم مکانیکی بدون اطلاع از این پارامترها منجر به نتیجهگیریهای غیرواقعی میشود.
در پایاننامه پیش رو یک تیر یک سر درگیر و تیر دو سر درگیر که پارامترهای تکیهگاهی آنها مجهول است، در نظر گرفته میشود. واضح است که پارامترهای سفتی و میرایی تکیهگاهها در پاسخ ارتعاشی تیرهای مذکور نقش عمدهای ایفا میکنند. در این پایاننامه، هر تکیهگاه ثابت با یک پین13 به همراه یک فنر پیچشی خطی14 و یک دمپر پیچشی خطی ویسکوز15 مدل شده است. پین مذکور تنها اجازه حرکت حول محور عمود بر پین را دارد و بقیه جهات را ثابت میکند. در ادامه تلاش میشود تا این پارامترها با استفاده از دادههای اندازهگیری کرنش16 و یا شتاب17، تخمین زده و محاسبه شوند. دادههای اندازهگیری به کمک شبیهسازی18 در نرم افزار انسیس19 فراهم میشوند. در فصلهای بعدی در خصوص این شبیهسازی و روش انجام آن توضیحات بیشتری آورده شده است. همانگونه که اشاره شد، بدست آوردن این پارامترها به روش مستقیم20 بسیار مشکل است و بهترین گزینه برای این امر بهره جستن از روش معکوس21 است. لذا استفاده از روشهای معکوس که در سالهای اخیر بسیار مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است، میتواند بسیار کارآمد و مناسب باشد. اصولاً یک مسأله معکوس22، یک چارچوب کلی است که برای تبدیل اندازهگیریهای مشاهده شده به اطلاعات مربوط به یک شیء فیزیکی یا یک سیستمی که مورد تحقیق است، مورد استفاده قرار میگیرد. تعریف فوق، یک تعریف کوتاه و مختصری از مسأله معکوس به شمار میرود. در فصلهای بعدی به طور مفصل به توضیح در خصوص روش معکوس پرداخته خواهد شد.

فصل دوم

مروری بر مطالعات پیشین

2- فصل دوم: مروری بر مطالعات پیشین
2-1- مقدمه
در این فصل به بررسی تاریخچه تحقیقات انجام گرفته در زمینههای ارتعاشات تیرهای طرهای، استفاده از روش معکوس در حل مسائل مختلف مکانیکی، استفاده از فنر و دمپر برای مدل کردن پارامترهای مختلف و شناسایی پارامترهای اتصالات مورد استفاده در تکیهگاهها از قبیل پیچها پرداخته میشود.
2-2-تاریخچه ارتعاشات تیرها
کاربرد وسیع تیرهای طرهای در صنایع مختلف بر کسی پوشیده نیست. تاریخچهای بسیار غنی در زمینه ارتعاشات تیرها وجود دارد و در طول دهههای گذشته تحقیقات بسیاری بر روی این سازه پرکاربرد صورت گرفته است. ارورا23 و همکاران [1] با استفاده از روش پهنای باند نیمهتوانی24 ضریب میرایی ساختاری را برای تیرهای آلومینیومی، برنجی و فولادی بدست آوردند. آنالیز ارتعاشی یک تیر دوار یکی از موضوعات مهم و خاص در مهندسی مکانیک به شمار میرود. رضایی و حسن نژاد [2] معادلات تحلیلی جدیدی را برای یک تیر ترکدار با تکیهگاههای ساده ارائه دادهاند. آنها با در نظر گرفتن یک مدل غیرخطی، معادلات حرکت یک تیر ترکدار را براساس مدل اغتشاشی25 بدست آوردند. آنان همچنین نتایج حاصله از این معادلات را با نتایج آزمایشگاهی و عددی مقایسه کردند. لیائو لیانگ26 و همکاران [3] ارتعاشات آزاد و کمانش الاستیک یک تیر ساخته شده از مواد مدرج تابعی27 حاوی ترک لبهباز را با استفاده از تئوری تیر تیموشینکو28 مورد مطالعه قرار دادهاند. در این پژوهش ترک به وسیله یک فنر پیچشی بدون جرم مدل شده است. میشل و موترشید29 [4] روشی برای محاسبه سختی مجهول در اتصال صلب با استفاده از معادلات متشکل از یک مدل تفاضل محدود و همچنین با استفاده از توابع پاسخ اندازهگیری شده پیشنهاد دادهاند. روش ارائه شده توسط آنها میتواند برای محاسبه خطای اتصالات در مدل تفاضل محدود بکار رود. لی30 [5] یک روش ساده و یکپارچه برای آنالیز ارتعاشی یک تیر با تکیهگاه کلی ارائه داده است. نتیجه مهم در این مقاله این است که نه تنها همیشه میتوان جابجایی تیر را به وسیله سری فوریه بسط داد، بلکه با این کار سرعت همگرایی افزایش مییابد. جینسو و ژیانگ31 [6] نشان دادند که چگونه میتوان میرایی وابسته به ماده را در یک آنالیز گذرای دینامیکی در نرم افزار انسیس مشخص کرد. در این مقاله یک تیر طرهای ساده با گزینه میرایی متغیر در انسیس مدل شده است. در همین راستا پراساد و سشو32 [7] نتایج حاصل از آنالیز مودال آزمایشگاهی از یک تیر با جنسهای مختلف نظیر فولاد، برنج، مس و آلومینیوم را ارائه دادهاند. آنها این تیرها را به وسیله یک چکش ضربه33 به ارتعاش درآورند و توابع پاسخ فرکانسی را در جهت شناسایی فرکانسهای طبیعی، میرایی و شکل مودها بدست آورند.
2-3-تاریخچه تحلیل معکوس
نخستین بار در سال 1923 در تحقیقاتی که توسط هادمارد34 صورت گرفت به مفهوم بدنهادگی35 و نبود جواب یکتا در بسیاری از مسائل معکوس اشاره شد [8]. اما از چند دهه پیش تعریف و تحلیل مسائل معکوس در رشتههای مختلف مهندسی و غیرمهندسی آغاز گردیده است و هم اکنون نیز تحقیقات در این زمینه ادامه دارد. در ابتدا، مسائل معکوس در حوزه انتقال حرارت مورد توجه بوده و پس از آن به حوزههای دیگر علمی و مهندسی نیز گسترش یافت.
مسائل معکوس در انتشار موج یکی از اولین مسائل معکوس در مهندسی مکانیک به شمار میرود [9]. لیو و هان36 [10] در کتاب خود مفصلاً به بحث درباره رویکردهایی برای فرمولبندی37 مسائل معکوس، فرآیندهای تحلیل معکوس و تکنیکهای عددی پرداختهاند. بسیاری از مسائل معکوس مهندسی با استفاده از تکنیکهای مذکور در این کتاب فرمولبندی و پیشنهاد شدهاند و بسیاری از موضوعات مهم مربوط به مسائل معکوس با استفاده از مثالهای ساده، شرح داده شدهاند. در این کتاب همچنین روشهایی برای کار کردن با چنین موضوعاتی ارائه شده است. محققان و پژوهشگران با استفاده از این روشها به حل مسائل معکوس در حوزه مهندسی مکانیک پرداختهاند و میپردازند. در اینجا به تعدادی از مطالعات و پژوهشهایی که صورت گرفته است، میپردازیم:
2-3-1-شناسایی معکوس بارهای ضربهای
از نخستین بررسیهای انجام گرفته در زمینه تخمین بارهای دینامیکی میتوان به مقاله گودیر38 و همکاران [11] اشاره کرد. در این مقاله توزیع زمانی نیروی عمودی وارد به یک نیمصفحه با استفاده از یک معادله انتگرالی که از پاسخ سازه در نقاطی دور از محل اعمال نیرو استفاده میکرد، بدست آمده است. در سلسله مقالاتی که توسط دویل39 [14-12] ارائه شده است، ضربه عرضی وارد به تیرها و ورق شناسایی شده است. وی در آزمایشات خود از کرنشسنج40 برای خواندن پاسخ در نقاط تعیین شده استفاده کرده است. هلندسورث و بازبی41 [15] شتاب تیر یک سر گیردار را در بازه زمانی 40 میکروثانیه اندازهگیری کرده سپس با استفاده از سرعت در الگوریتم معکوس، ضربه وارد به تیر را محاسبه کردند. اینو42 و همکاران [16] مقدار و جهت ضربه اعمالی بر یک تیر با تکیهگاه ساده را در فضای سه بعدی محاسبه کردند، کمیت اندازهگیری شده در این بررسی، کرنش بوده است. زارع و همتیان [17] بارهای اعمالی به یک ورق کامپوزیتی را با استفاده از مقادیر کرنش افقی به عنوان کمیت اندازهگیری محاسبه نمودند. همتیان و همکاران [18] همین مسأله را در حالت غیرخطی نیز تحلیل کردند. کاظمی و همتیان [19] یک روش معکوس برای شناسایی مکان و توزیع زمانی یک تک نیروی ضربهای الاستیک را براساس پاسخهای سازهای زمانمند، ارائه دادهاند.
2-3-2-شناسایی معکوس ثابتهای مواد
میگنوگنا43 [20 و 21] با استفاده از سرعت امواج ماوراصوت به عنوان دادههای رفتار سازه، به محاسبه ثوابت الاستیک بسیاری از کامپوزیتهای ناهمسانگرد پرداختهاند. سوارس44 و همکاران [22] یک تکنیک برای پیشبینی خواص مکانیکی ورقهای کامپوزیتی با استفاده از فرکانسهای ویژه، پاسخ محاسبات مقادیر ویژه عددی، تحلیل حساسیت45 و بهینهسازی ارائه دادهاند. برخی از محققان از روش معکوس مبتنی بر روش المان محدود و اندازهگیریهای استاتیکی [23 و 24] و یا اندازهگیریهای دینامیکی [25 و 26] برای شناسایی ثوابت الاستیکی استفاده کردهاند. برخی دیگر از محققان نیز از روش المان مرزی برای شناسایی ثوابت مواد بهره گرفتهاند [29-27]. همتیان و همکاران [30] یک تکنیک معکوس مبتنی بر روش المان مرزی و آزمایشات الاستواستاتیک برای شناسایی ثوابت الاستیکی مواد دو بعدی اورتوتروپیک و ناهمسانگرد کلی ارائه دادهاند.
2-3-3-مسائل شناسایی ترک و عیوب
شناسایی ترک و عیوب یک دسته مهم از مسائل معکوس با اهمیت کاربردی آشکار است. در طول سه دهه گذشته شناسایی ترک در ماشینها و قطعات سازهای مورد توجه فراوان قرار گرفته است. لیو و لام46 [31] و لام و همکاران [32] از روش المان نواری برای مشخص نمودن ترکهای عمودی و افقی در لمینیتهای ناهمسانگرد استفاده کردهاند. لاو و لو47 [33] یک روش حوزه زمانی48 که در آن پارامترهای یک ترک در یک عضو سازهای به وسیله اندازهگیریهای کرنش و جابجایی بدست آمده است، پیشنهاد دادهاند. در تحقیق آنها، ترک به عنوان یک ترک باز گسسته که به لحاظ ریاضی به وسیله تابع دلتای دیراک49 مدل شده است، لحاظ گردیده است. آنان در تحلیل معکوس خود از روش بهینهسازی همراه با هموارسازی برای شناسایی ترکها استفاده کردهاند. لهله و مایتی50 [34] به هر دو روش مستقیم و معکوس به حل یک تیر تیموشینکو با مقطع عرضی مستطیلی و با یک ترک باز پرداختهاند. تیر مذکور تنها از طرف یکی از سطوح متقارن ارتعاش میکند. آنها همچنین ترک را با یک فنر پیچشی مدل کردهاند. لیو و چن51 [37-35] نیز چندین تکنیک معکوس محاسباتی برای یافتن عیوب در سازههای ساندویچی ارائه دادهاند.
2-4-تاریخچه کاربرد فنرها و دمپرها
محققان زیادی از فنر برای مدل کردن پارامترهای مختلف بهره جستهاند. در برخی از موارد برای شناسایی وجود ترک و میزان تأثیری که ترک در کاهش سفتی یک تیر دارد، ترک به عنوان یک فنر پیچشی خطی بدون جرم مدل شده است [38]. ژو52 و همکاران [39] براساس تئوری مکانیک شکست و به صورت تحلیلی مقدار ثابت فنر خطی معادل را با طول ترک در تیر مرتبط کردهاند. هیستی و اشپرینگر53 [40]، یک المان تیر را برای استفاده در کدهای المان محدود توسعه دادهاند. ترک به عنوان یک فنر خطی برای ارتعاشات محوری و به عنوان یک فنر پیچشی برای ارتعاشات خمشی تیر شبیهسازی شده است. این مدل برای تیرها با تکیهگاه ساده [41 و 42]، تیرهای طرهای [43] و تیرهای دو سر آزاد [44] نیز بکار رفته است. نارکیس54 [41] با استفاده از تحلیل معکوس به شناسایی ترک در تیرهای یکنواخت با تکیهگاههای ساده تحت ارتعاشات خمشی و محوری پرداخته است. وی از دو فرکانس طبیعی اول تیر استفاده کرده است. لی و ان جی55 [42] با استفاده از اندازهگیری شکل مودها و فرکانسهای طبیعی یک تیری که دارای ترک عرضی است، با استفاده از روش ریلی-ریتز56 به شناسایی ترک پرداخته است. در مدل آنها تیر به دو قسمتی که توسط یک فنر پیچشی متصل هستند، تقسیم شده است. بامنیوس و تروچیدس57 [43] به بررسی تأثیر ترک عرضی سطحی بر رفتار دینامیکی تیرهای طرهای پرداختهاند. آنها با توجه به نتایج تحلیلی و تجربی خود، یک ارتباطی را بین تغییر در فرکانسهای طبیعی و امپدانس مکانیکی58 تحت اثر محل و اندازه ترک برای ارتعاشات موجی فراهم آوردهاند. بولتزار59 و همکاران [44] فرآیندی را برای شناسایی محل ترک در تیرهای یکنواخت دو سر آزاد60 تحت ارتعاشات موجی61 ارائه دادهاند. شکاف عرضی تیر با یک فنر خطی معادل که دو قسمت تیر را به هم وصل میکند، مدل شده است. آنها با استفاده از تغییر در فرکانسهای طبیعی تیر و با کمک روش معکوس به شناسایی ترک پرداختهاند. لهله و مایتی [34] نیز وجود ترک را به وسیله یک فنر پیچشی در تیر ترک دار اویلر برنولی62 مدل کردهاند. لویا63 و همکاران [45] فرکانسهای طبیعی برای ارتعاشات خمشی64 تیرهای ترکدار تیموشینکو65 با تکیهگاههای ساده را بدست آوردهاند. آنان تیر را با دو قطعه که به وسیله دو فنر بدون جرم که یکی از آنها فنر کششی66 و دیگری فنر پیچشی است، مدل کردهاند.
برخی از محققان نیز از فنر برای مدل کردن تکیهگاهها و اتصالات بهره جستهاند. سیلوا67 و همکاران [46]، با استفاده از فنر و با بکارگیری آن در تکیهگاه روتور به ارائه یک مدل صحیح از خواص آن پرداختهاند. آنها برای این هدف، شفت دوار را با یک تیر با تکیهگاه الاستیک (تکیهگاهی که در آن فنر بکار رفته است) که در راستای طول آن تعداد محدودی جرم متمرکز قرار دارد، مدل کردهاند. آنها در مقاله خود با مقایسه کردن نتایج تجربی و مدل پیشنهادی خود، به این نتیجه رسیدهاند که استفاده از سختی الاستیک پیچشی برای مدل کردن رفتار دینامیکی تکیهگاه بسیار مناسب و دقیق است. آنها همچنین دادههای خود را از فرکانسها و مودهای طبیعی تشکیل دادهاند. دروسا68 و همکاران [47] رفتار تکیهگاههای تیر در برابر چرخش و حرکت انتقالی را به صورت الاستیک مدل کردهاند. بنابراین این مدل میتواند تمامی شرایط تکیهگاهی رایج یک تیر را نیز پوشش دهد.
استفاده از فنر-دمپر برای مدل کردن برخی پارامترها نیز رایج است. همانطور که میدانیم بسیاری از سازههای مکانیکی از سازههای کوچکتر که به وسیله اتصالاتی چون پیچ به یکدیگر متصل شدهاند، تشکیل شدهاند. در بسیاری از تحقیقات خواص سفتی و میرایی این اتصالات نادیده گرفته شدهاند. این در حالی است که برای داشتن یک تحلیل دینامیکی دقیق، ابتدا بایستی خواص اتصالات شناسایی شوند. یوشیمورا69 [48 و 49] یک سری از پیشنهادات تجربی برای اندازهگیری پارامترهای دینامیکی و مقادیر سفتی و میرایی اتصالات ساخته شده از پیچها و جوشها و همچنین اتصالات بکار رفته در ابزارها و ماشینهای مکانیکی ارائه داده است. پارامترهای مودال اندازهگیری شده نیز در تعدادی از تحقیقات پیشین برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات مورد استفاده قرار گرفته است [50 و 51]. برای مثال، اینامورا و ساتا70 [52] روندی را برای شناسایی پارامترهای سازهای اتصالات با استفاده از تمامی مقادیر ویژه و شکل مودها ارائه دادهاند. یوان و وو71 [53] و کیم72 و همکارانش [54] با استفاده از یک مدل المان محدود فشرده شده73 و برخی از شکل مودها به شناسایی خواص سفتی و میرایی اتصالات پرداختهاند. این روشها نیازمند پارامترهای مودال دقیق هستند. این در حالی است که اندازهگیری این پارامترها مخصوصاً در مواردی که میرایی بالایی وجود داشته باشد، بسیار مشکل است. برای غلبه بر این مشکل بسیاری از محققین، توابع پاسخ فرکانسی را برای محاسبه پارامترهای اتصالات پیشنهاد دادهاند [55 و 56]. ابراهیم و پتیت74 [57] به طور مفصل به مرور تاریخچه مربوط به استفاده و مدل کردن اتصالاتی همچون پیچ پرداختهاند. آنها در مقاله خود به مرور مدلهایی که برای مدل کردن اتصالات شامل پیچها و دیگر اتصالات مورد استفاده و تحلیل قرار گرفته است، پرداختهاند. در این مقاله به طور مفصل به تحقیقات انجام شده در زمینه مدل کردن پارامترهای اتصالات (سفتی و میرایی) اشاره شده است.
یک تحلیل و طراحی مناسب از سیستمهای سازهای به دو عامل صلب بودن اتصالات و ایدآل بودن آنها وابسته است. اما واضح است که ساختن اتصالات ایدآل ممکن نیست و یا بسیار مشکل است. در نتیجه اتصالات موجود نمیتوانند در عمل رفتار اتصالات ایدآل را ارائه دهند [58 و 59]. بنابراین شناسایی خواص اتصالات و تکیهگاهها یک امر مهم و ضروری برای پیشبینی پارامترهای دینامیکی سیستمهای مکانیکی از قبیل ابزارها و ماشینهای دینامیکی [54 و 60]، سازههای فضایی [61 و 62] و بسیاری از سیستمهای سازهای دیگر به شمار میرود.
گوئل75 [63] ارتعاشات عرضی تیرهای مخروطی خطی76 که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. وی نتایج را برای سه فرکانس اول با مقادیر نسبی سفتی مختلف (نسبت سفتی فنر به سفتی تیر) و نسبتهای مخروطی77 مختلف ارائه داده است. وی همچنین ارتعاشات یک تیر با یک جرم اضافی که در یک نقطه دلخواه قرار دارد و تکیهگاههای آن با فنر پیچشی مدل شده است را با استفاده از تبدیل لاپلاس78 بررسی نموده است [64]. ساتو79 [65] تأثیر نیروی محوری را بر ارتعاشات عرضی و کمانش80 تیرهای مخروطی خطی که در هر دو تکیهگاه آن فنر پیچشی قرار دارد را بررسی کرده است. جونز81 و همکاران [66] به تحلیل قابها با اتصالات نیمهصلب82 پرداختهاند. آنها همچنین به بررسی دادههای تجربی در دسترس بر روی اتصالات نیمهصلب و روشهایی برای مدل کردن اینگونه اتصالات نیز پرداختهاند. مدل فنر معادل برای توصیف رفتار این تکیهگاهها در این مقاله مورد توجه قرار گرفته است. در دههای اخیر نیز محققین زیادی از فنر برای مدل کردن تکیهگاه تیرها با مقاطع مختلف استفاده کردهاند [72-67].

فصل سوم

مبانی تئوری

3- فصل سوم: مبانی تئوری

3-1- مقدمه
ابزارهای طراحی به کمک کامپیوتر83 در مهندسی برای طراحی سیستمهای سازهای پیشرفته مورد استفاده قرار میگیرد. تکنیکهای شبیهسازی محاسباتی84 در این ابزارهای طراحی، اغلب با داشتن بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی، شکل هندسی، خواص ماده و غیره به عنوان ورودی به محاسبه جابجاییها، تغییر فرمها، کرنشها، تنشها، فرکانسهای طبیعی، مودهای ارتعاشی و غیره به عنوان خروجی میپردازد. این نوع از مسائل، مسائل مستقیم (کلاسیک)85 نامیده میشوند و اغلب به وسیله معادلات دیفرانسیل معمولی یا جزئی86 با متغیرهای مجهول میدانی87 حل میشوند. در مسائل مکانیکی، متغیرهای میدان، اساساً جابجاییها هستند. در حقیقت حل یک مسأله مستقیم، حل معادلات دیفرانسیل معمولی و یا جزئی با شرایط اولیه و مرزی معلوم است. روش تفاضل محدود88 [73 و 74]، روش المان محدود89 [75 و 76]، روش المان نواری90 [77 و 78]، روش المان مرزی91 [79]، روش ترکیبی المان محدود و المان مرزی92 [80] و روشهای بدون مش93 [81 و 82] از جمله پرکاربردترین فرآیندهای حل مسائل مستقیم، خصوصاً فرآیندهای محاسباتی و عددی به شمار میروند. نوعی دیگر از اغلب مسائل کاربردی که با آنها روبرو میشویم، مسائل معکوس94 نامیده میشوند. در یک مسأله معکوس پارامترهایی از خروجی سیستم نظیر سرعت، شتاب، فرکانسهای طبیعی و غیره ممکن است معلوم باشند (به طور مثال از طریق آزمایشات تجربی) اما از سوی دیگر پارامترهایی از ورودی سیستم نظیر بارگذاری، خواص ماده، هندسه سازه، شرایط مرزی و یا ترکیبی از این پارامترها مجهول هستند و نیاز است که آنها را بدست آورد. بسیار واضح است که دستیابی به حل اینگونه از مسائل در بسیاری از مسائل کاربردی مهندسی بسیار مفید خواهد بود.

3-2-روند کلی حل یک مسأله معکوس
لیو و هان95 [10] در کتاب خود، روند کلی حل یک مسأله معکوس را بیان کردهاند که در شکل (3-1) و در ادامه آن به صورت خلاصه مرور میشوند.
شکل (3-1): روند کلی حل یک مسأله معکوس
3-2-1-تعریف مسأله
با استفاده از یک تحلیل و مرور بر هدف، منابع و زمان، هدف و منظور از انجام مسأله تعریف میشود. یک استراتژی کلی و برنامه عملی بایستی برای اجرای مراحل بعدی، تعیین گردد. تلاشها بایستی در راستایی قرار بگیرند که اولاً تعداد مجهولاتی که قرار است در طی فرآیند معکوس محاسبه شوند را کاهش دهد و ثانیاً تمام پارامترها را در کوچکترین ناحیه ممکن، محدود کند. بدین ترتیب با کاهش بدنهادگی96 مسأله، شانس حل موفق مسأله و دقت حل آن افزایش خواهد یافت.
3-2-2-ارائه مدل مستقیم
یک مدل فیزیکی برای بیان مسألهی تعریف شده، باید مورد استفاده قرار گیرد. این مدل باید به گونهای باشد که خروجیهای آن تا حد امکان نسبت به پارامترهایی که از مسأله معکوس محاسبه خواهند شد، حساس باشند. همچنین بایستی دقت شود که هر کدام از پارامترهای مسأله معکوس به طور جداگانه بر خروجی مسأله مستقیم اثرگذار باشند. با در نظر گرفتن شرایط بیشتر میتوان به بهبود وضعیت مسأله معکوس کمک کرد. روشهای معمول برای حل مسأله مستقیم شامل روشهای ریاضی-تحلیلی، روشهای آزمایشگاهی و روشهای عددی مانند المان محدود، تفاضل محدود، المان مرزی، بدون المان و غیره میشوند. معمولاً از روشهای آزمایشگاهی به دلیل هزینه بالا در حل مسأله مستقیم استفاده نمیشود.
3-2-3-محاسبه حساسیت بین خروجیها و پارامترها
اطمینان از برقراری حساسیت میان خروجیها و پارامترهایی که قرار است از طریق روش معکوس حاصل گردند، از مهمترین و مؤثرترین راهکارهایی است که میتواند باعث کاهش بدنهادگی در مسأله معکوس شود. تحلیل حساسیت بایستی با استفاده از مدل مستقیم ساخته شده و بدون انجام آزمایش که ممکن است هزینهبر و گران باشد، انجام شود. براساس تحلیل حساسیت صورت گرفته، ممکن است تغییراتی در مدل مستقیم و یا پارامترهای مسأله معکوس ایجاد شود.
3-2-4-طراحی آزمایش
پیش از انجام آزمایش، بایستی دادههای خروجی آزمایش (که به عنوان ورودی مسأله معکوس در نظر گرفته خواهند شد)، تجهیزات لازم برای اندازهگیری و تعداد نمونهبرداریها مشخص شوند. تعداد اندازهگیریها بایستی از تعداد مجهولات مسأله معکوس بیشتر باشند تا در این صورت با مسأله فرانهاده97 روبرو شویم. یک سیستم فرانهاده معمولاً میتواند به طور چشمگیری بدنهادگی در مسأله معکوس را کاهش دهد. یک مسأله فرانهاده به طور معمول میتواند دادههای آزمایشگاهی را که حاوی خطای زیادی هستند را اصلاح کند و منجر به حل مسأله شوند.
3-2-5-کمینه کردن خطای اندازهگیری
بدیهی است که وجود خطا در دادههای آزمایشگاهی که به عنوان ورودی مسأله معکوس بکار گرفته میشوند، باعث ایجاد خطا در پاسخ مسأله خواهد شد. در صورتی که مسأله بدنهاده باشد، وجود خطا در دادهها باعث ایجاد خطای به مراتب بزرگتر در پاسخ خواهد شد و حتی میتواند باعث ناپایداری پاسخ مسأله شود. فیلترهای طراحی شده مناسب میتواند به منظور فیلتر کردن خطاها قبل از استفاده از دادهها به عنوان ورودی مسأله معکوس، مورد استفاده قرار گیرند. اصل کلی در استفاده از فیلتر این است که برای فیلتر کردن تمام خطاهایی که دارای فرکانس بالاتری نسبت به فرکانس خروجی مسأله هستند، بایستی از یک فیلتر پایینگذر98 استفاده شود. فرکانس خروجیهای مسأله را اغلب میتوان با استفاده از حلگر مستقیم99 حدس زد.
3-2-6-بکارگیری فرمولبندی معکوس
در صورتی که مسأله را بتوان به شکل ماتریسی صریح100 بیان کرد، با بهره گرفتن از معکوس این ماتریس میتوان به پاسخ مسأله دست یافت. برای سیستمهایی که نمیتوان آن را به شکل ماتریسی صریح بیان کرد، همیشه میتوان از یک تابع خطای101 فرمولبندی شده براساس یک معیار102 مناسب بهره جست و در ادامه میتوان با استفاده از روشهای بهینهسازی (کمینهسازی)103 به کمینه کردن خطای معیار و به دنبال آن به پاسخ مسأله دست یافت. روشهای هموارسازی104 مناسب را میتوان برای مسائل بدنهاده بکار برد. روشهای هموارسازی برای بدست آوردن پاسخ پایدار در مسائل بدنهاده بسیار مهم هستند. در بسیاری از حالات، هموارسازی آخرین راهکار برای غلبه بر بدنهادگی مسأله به شمار میرود.
3-2-7-بازبینی پاسخ
واضح است که اطمینان از اینکه پاسخ بدست آمده از روش معکوس دارای معنای فیزیکی باشد، مهم و ضروری است. در همین راستا بایستی از همه روشهای محتملی که بتواند قضاوت مناسبی از صحت پاسخ بدست آمده داشته باشند، بهره جست. یکی از راهکارهای مناسب و قابل قبول این است که بتوان از پاسخهای بدست آمده از روش معکوس به ورودی مسأله معکوس آن رسید. این راهکار را امکان بازساخت ورودی105 مینامند. در صورتی که پاسخ بدست آمده قانع کننده نباشد، بایستی استراتژی روش معکوس و آزمایشها را اصلاح کرد. این مراحل تا زمانی که به پاسخ مناسب دست یابیم، ادامه خواهد داشت.
3-3-مفاهیم اساسی مسائل معکوس
همانگونه که اشاره شد بسیاری از مسائلی که در مهندسی با آن مواجه میشویم را نمیتوان به روش مستقیم حل کرد. اینگونه از مسائل را میتوان به کمک روش معکوس حل کرد. روش حل يک مسأله معکوس با توجه به حالت دائمي يا گذرا، خطي يا غيرخطي بودن معادلات و غیره متفاوت است و براي هر دسته از الگوريتم خاصي استفاده مي‌شود. بنابراین آگاهی از انواع مسائل معکوس و مشکلاتی که ممکن است در روند حل یک مسأله معکوس با آن روبرو شویم، میتواند به ما در راستای دستیابی به یک حل مطمئن و دقیق کمک قابل توجهی به شمار رود. يکي از مشکلات عمده در حل مسائل معکوس بدنهاده بودن اين دسته از مسائل است. لیو و هان [10] پدیده بدنهادگی مسائل معکوس را به سه دسته مسأله بدنهاده دستهبندی کردهاند که در ادامه به آنها اشاره خواهد شد. از طرفی مسائل معکوس را میتوان از این منظر که تعداد معلومات و مجهولات آن چقدر باشند، به سه دسته زیر تقسیم بندی کرد:
مسائل همنهاده106: به مسائلی گفته میشود که در آن تعداد مجهولات و تعداد معلومات با یکدیگر برابر است.
مسائل فرونهاده107: به مسائلی گفته میشود که در آن تعداد مجهولات بیشتر از تعداد معلومات است. در اینگونه از مسائل، میتوان بسیاری از استراتژیهای معکوس دیگر را بکار برد. نکته کلیدی در اینجا این است که مسأله دارای پاسخ یکتا نخواهد بود و نمیتوان همیشه به پاسخ آن اعتماد کرد. در حقیقت، این مشکل یکی از عوامل ایجاد بدنهادگی در مسائل معکوس به شمار میرود. مسائل معکوسی که دارای اینگونه بدنهادگی باشند را مسائل بدنهاده نوع Ι مینامند. در یک مسأله بدنهاده نوع Ι، تلاش برای یافتن اطلاعات بیشتر از سیستم، قابل اعتمادترین روش برای دستیابی به یک پاسخ دقیق به شمار میرود. نکته قابل توجه این است که بدنهادگی نوع Ι در مسائل مستقیم نیز دیده میشود. یک مسأله فرونهاده همیشه بدنهاده است.
مسائل فرانهاده: به مسائلی گفته میشود که در آن تعداد مجهولات کمتر از تعداد معلومات است. نکتهای که بایستی بدان توجه داشت این است که مسائل فرانهاده نیز میتوانند بدنهاده باشند.
نوع دیگری از بدنهادگی، بدنهادگی نوع ΙΙ است که در قالب مثال زیر شرح داده شده است. یک میله مستقیم با سطح مقطعهای متفاوت که از دو ماده ساخته شده و تحت نیروهای f_1 و f_2 قرار دارد، مطابق شکل (3-2) در نظر گرفته میشود.
شکل (3-2): میله مستقیم با سطح مقطعهای متفاوت، ساخته شده از دو ماده، تحت نیروهای f_1 و f_2 در این مثال فرض بر این است که f_1 و f_2 ، جابجاییهای u_1 و u_2، سطح مقطعهای A_1 و A_2 و طولهای l_1 و l_2 معلوم هستند و هدف یافتن مدول یانگ دو ماده E_1 و E_2 است. در این مسأله معکوس نیروهای f_1 و f_2 به عنوان ورودیها و مدول یانگ دو ماده E_1 و E_2 به عنوان خروجیها در نظر گرفته شدهاند. از آنجایی که تعداد معلومات و مجهولات در این مسأله معکوس برابر هستند، این مسأله یک مسأله معکوس همنهاده به شمار میرود.
معادلات حاکم بر این مسأله را میتوان به راحتی به شکل زیر بدست آورد:
(3-1){■(E_1@E_2 )}={■(l_1/(A_1 u_1 ) (f_1+f_2 )@l_2/(A_2 (u_2-u_1 ) ) f_2 )} با توجه به رابطه فوق، اگر u_1=u_2، E_2 را نمیتوان بدست آورد و همچنین اگر u_2=0، E_1 را نمیتوان بدست آورد. این نکته یکی دیگر از ماهیتهای بسیار مهم از مسائل معکوس را نشان میدهد. در مسائل معکوس موقعیتهایی ممکن است پیش آید که در آن صورت روند حل معکوس بینتیجه خواهد ماند. علاوه براین، وقتی که u_1 ( یا u_2-u_1) بسیار کوچک و حاوی خطای زیاد باشد، واضح خواهد بود که با کوچکترین خطا در انتخاب حدس اولیه برای E_1 (یا E_2) باعث ایجاد خطای بسیار بزرگ و یا حتی ناپایداری در پاسخ خواهد شد. به عبارت دیگر کوچکترین تغییر در u_1 ( یا u_2-u_1) منجر به یک تغییر بزرگ در E_1 (یا E_2) میشود. این نکته یکی دیگر از ماهیتهای بسیار مهم از مسائل معکوس را نشان میدهد. در مسائل معکوس موقعیتهایی ممکن است پیش بیایند که در آن صورت یک خطای بزرگ در پاسخ و یا حتی ناپایداری پاسخ نتیجه آن خواهد بود. اینگونه از بدنهادگیها را بدنهادگی نوع ΙΙ مینامند. به عبارت دیگر اینگونه بدنهادگیها به این دلیل بوجود میآیند که مجهولات مسأله معکوس نسبت به معلومات حساس نیستند. بهترین راه برای مقابله با مسائل معکوسی که دارای بدنهادگی نوع ΙΙ هستند، اصلاح آزمایشات جهت برقراری حساسیت بین معلومات و مجهولات است. همچنین استفاده از روشهای هموارسازی اغلب میتواند راهگشا باشد. نکته قابل توجه در این مثال این است که مسائل معکوس همنهاده لزوماً پایداری را تضمین نمیکنند. بنابراین مسائل معکوس همنهاده نیز میتوانند بدنهاده باشند. نکته قابل توجه دیگر این است که مسائل مستقیم نیز میتوانند بدنهادگی از نوع ΙΙ را داشته باشند.
در ادامه یک مثال ساده برای نشان دادن و بررسی بدنهادگی نوع ΙΙΙ آورده شده است. یک میله مستقیم با سطح مقطع یکنواخت A تحت نیروی f قرار دارد، مطابق شکل (3-3) در نظر گرفته میشود.
شکل (3-3): میله مستقیم با سطح مقطع یکنواخت A تحت نیروی f معادله سیستم پیوسته فوق را می توان به شرح زیر بیان کرد:
(3-2)du(x)/dx=f/EA که در آن u(x) جابجایی محوری نقطه x از این تیر است. مسأله مستقیم مرسوم برای این مثال یافتن جابجایی محوری u(x) با استفاده از رابطه زیر است:
(3-3)u(x)=∫▒〖f/EA dx〗+c_0که در آن c_0 ثابت انتگرال گیری است که با استفاده از شرط مرزی زیر بدست میآید:
(3-4)u(x=0)=0 → c_0=0 حال مسأله معکوس را بدین صورت تعریف میکنیم که میخواهیم f را با استفاده از u(x) اندازهگیری شده بدست آوریم. در عمل، جابجایی اندازهگیری شده (u^m) حاوی مقداری خطا خواهد بود که میتوان آن را به شکل زیر بیان کرد:
(3-5)u^m=u^a+u^noise=u^a+u^a e sin⁡(ω_noise x)=u^a [1+e sin⁡(ω_noise x) ] که در آن u^a جابجایی بدست آمده از حل تحلیلی معادله (3-3)، u^noise خطای اندازهگیری108 است. e سطح خطای اندازهگیری است که معمولاً کمتر از 1 است و همچنین ω_noise فرکانس



قیمت: تومان

دسته بندی : مقاله و پایان نامه

دیدگاهتان را بنویسید