پایان نامه جهت دریافت درجه کارشناسی ارشد در رشته مهندسی ابزار دقیق و اتوماسیون صنایع نفت
عنوان :
کنترل بهینه و تصحیح خطای صفحه پایدار ژیروسکوپی سه درجه آزادی نصب شده بر روی یک جسم پرنده
استاد راهنما :
دکتر علیرضا روستا
اساتید مشاور :
دکتر فاضل زاده حقیقی
دکتر لطف آور
پژوهشگر :
نازیلا بیرمی
شهریور ماه 1392
فهرست مطالب
چکیده 3
فصل اول 4
مقدمه 4
1 – 1 عکس برداری و فیلم برداری هوایی 7
1- 2 اهداف پایان نامه 10
1- 3 قواعد و اصول 10
فصل دوم: تئوری ژیروسکوپ و استخراج مدل آن 15
2- 1 تعریف محورهای مختصات 15
2 – 1- 1 محور مختصات اینرسی 15
2 – 1- 2 محور مختصات بدنه هواپیما 16
2-1-3 محور مختصات پلتفرم17
2-1-4 محور مختصات گیمبال 18
2- 2 زوایای حرکات افقی و عمودی18
2-3 دوران اویلر20
2-4 نرخ دوران اویلر22
2-5 معادلات حرکت اویلر23
2-6 معادلات حرکت ژیروسکوپ25
2-6-1 اغتشاشات گشتاوری ناشی از اصطکاک31
فصل سوم: شبيه‌سازي‌هاي مدل استخراج شده 34
3-1 پاسخ زيروسكوپ به ورودي گشتاور پله 34
3-2 پاسخ ديناميك پياده‌سازي شده بدون در نظر گرفتن اصطكاك 36
فصل چهارم: طراحي كنترلر 41
4-1 مقدمه 41
4-2 معادلات حالت و قانون كنتر لی 41
4-3 كنترل‌پذيري48
4-4- طراحي كنترلر49
4-4-1 روش كنترل PID49
4-4-2 روش زيگلر- نيكولز براي تنظيم پارامترهاي PID50
4-5 طراحي كنترلر حرکات عمودی53
4-5-1 طراحي كنترلر بر اساس روش زیگلر نیکولز53
4-5-2 طراحي كنترلر براساس بهینه سازی57
4-5- 3 طراحی کنترل کننده بر اساس روش کنترل بهینه LQR 62
6-4- طراحی کنترلر حرکات افقی74
7-4-نتیجه گیری71
چکیده:
در این پایان نامه یک کنترل موفق و مناسب درمورد یک ژیروسکوپ 3 درجه آزادی مورد بررسی قرار گرفته است. یکی از موارد استفاده از این کنترل این است که این کنترل می تواند روی یک وسیله پرنده یا متحرک مورد استفاده قرار بگیرد. هدف نهایی در این پایان نامه طراحی یک صفحه پایدار 3 درجه آزادی میباشد. مدل ریاضی مورد استفاده در این پایان نامه براساس معادلات حرکت اویلر می باشد که شرح کامل آن در متن پایان نامه آمده است. براساس همین مدل ریاضی شبیه سازی های غیرخطی ژیروسکوپ انجام و نتایج نشان داده شده است. کنترل کننده مورد استفاده در این پایان نامه یک کنترلر بهینه LQR خواهد بود که نتایج بدست آمده از آن با یک کنترل کننده سادهPID مقایسه خواهد شد. ضرایب کنترل کننده PIDبراساس گرادیان خطای ناشی از ضرایب به دست آمده است.آزمایشات و شبیه سازی های انجام شده با بکارگیری این کنترلر، توانایی آن را درمورد پایدار سازی صفحه پایدار نشان می دهد.
فصل اول
مقدمه:
پلتفرمهای 2 درجه آزادی و یا 3 درجه آزادی قطعاتی هستند که به منظور قرار گرفتن در یک زاویه خاص و یا دنبال کردن یک زاویه مورد نظر مورد کنترل قرار میگیرند. یکی از مواردی که در آن میتوان از یک صفحه پایدار 3درجه آزادی سود برد در عکسبرداریهای هوایی میباشد. برای این منظور میتوان یک پلتفرم را روی یک وسیله پرنده قرار داد و با کنترل آن و پایدار نمودن آن در یک زاویه خاص از منطقه و یا هدف خاصی عکسبرداری و یا فیلم برداری نمود.
مواردی که به طور گسترده از این گونه اطلاعات هوایی استفاده می کنند عبارتند از: کنترل بحران، مطالعات محیطی و کشاورزی، نقشه برداری و همچنین این اطلاعات به طور گستردهای توسط پلیس مورد استفاده قرار میگیرد. نمونهای از این نوع تصویر برداری در شکل 1-1 نشان داده شده است.

شکل 1-1 – نمونهای از عکسبرداریهای مختلف در زمینههای متفاوت
استفاده از ژیروسکوپ به عنوان یک سنسور زاویه و سرعت زاویهای در پلتفرمهای پایدار شده مورد استفاده قرار میگیرند. ژیروسکوپ وسیله‌ای برای اندازه‌گیری و یا حفظ جهت می‌باشد که از اصل بقای تکانهی زاویه‌ای استفاده می‌کند. یک ژیروسکوپ مکانیکی همیشه یک چرخ یا دیسک چرخنده با محور آزاد دارد که می‌تواند در هر جهتی بایستد. این جهتگیری بسیار کمتر بر اثر گشتاور خارجی تغییر می‌کند که این به دلیل ممان زاویه‌ای بزرگ خود به همراه نرخ زیاد چرخش آن است]5[. صرفنظر از اینکه سطحی که وسیله روی آن قرار گرفته چقدر حرکت می‌کند و چون گشتاور خارجی توسط نگاه داشتن وسیله در یک حلقه کمینه می‌شود جهت آن تقریبا ثابت می‌ماند. ژیروسکوپ‌های با تکنولوژی حالت جامد هم وجود دارند مانند ژیروسکوپ‌های حلقهی لیزری. نمونهای از این ژیروسکوپهای پیچیده در شکل 2-1 نشان داده شده است.
شکل 2-1- ژیروسکوپ حلقه لیزری
براي آشنايي با پلتفرمهاي پايدار شده ابتدا بايد بايد زيروسكوپها و نقش آنها در پلتفرمهاي پايدار شده را بررسي نمود. از لحاظ فني زيروسكوپ وسيلهاي است كه سرعت زا ويهاي را اندازه بگيرد. در قرن هجده، ادوات چرخاني براي ناوبري كشتيها در هواي مه آلود مورد استفاده قرار گرفت. ژيروسكوپهاي چرخان قديمي در اوايل قرن 19 اختراع شد و نام ژيروسكوپ در سال 1852 براي آن انتخاب گرديد. در اواخر قرن 19 و اوايل قرن 20 از ژيروسكوپ بر روي كشتيها به طور گسترده اي استفاده شد. در حدود سال 1916 از ژيروسكوپها در هواپيماها استفاده گرديد و هنوز هم در اين مورد استفاده ميشود. در قرن 20 ژيروسكوپهاي چرخان تكامل يافتند. در سال 1960 ژيروسكوپهاي نوري براي اولين بار معرفي شدند و به سرعت در بازارهاي جهاني و كاربردهاي نظامي مورد استفاده قرار گرفتند. از 15 سال پيش تا كنون ژيروسكوپهای MEMS معرفي شدند و پيشرفتهايي براي توليد انبوه آنها نسب به ژيروسكوپهاي قديمي كوچك به دست آمد.
عملكرد ژيروسكوپها با توجه به نوع آنها متفاوت ميباشد. ژيروسكوپهاي چرخان قديمي بر اساس يك شئي چرخنده کار میکند كه انحراف زاویه آن بصورت عمودی نسبت به جهت چرخش تقدم خواهد داشت. این تقدم وسيله را در جهت عمودي نگه ميدارد و بنابراين زاويه نسبت به سطح مرجع ميتواند اندازه گرفته شود. ژيروسكوپهاي نوري معمولا ژيروسكوپهاي ليزري حلقوی هستند. اين ادوات دو ليزر را در يك مسير دايرهاي در جهت مخالف ارسال ميكنند. اگر مسير چرخش داشته باشد، اختلاف فاز اندازهگيري ميشود. این امر با توجه به اين قضيه كه سرعت نور ثابت ميماند انجام میگیرد. معمولا مسير حلقهاي مثلث يا مربع هستند كه با استفاده از آينههايي در گوشهها توليد شدهاند. ژيروسكوپهاي نوري به عنوان یک پیشرفت بزرگ در ژیروسکوپهای چرخشی به حساب میآید چراکه فرسایشی نداشته و علاوه بر قابلیت اعتماد بالا از حجم کمی نیز برخوردار هستند.
حتی پس از معرفی ژیروسکوپهای حلقوی، ویژگیهای دیگری از ژیروسکوپها انتظار میرفت. ژیروسکوپهای MEMS به منظور تولید ادوات حساس تر و کوچک تر مورد توجه قرار گرفتند.
کاربردهای ژیروسکوپ شامل هدایت، زمانی که قطب‌های مغناطیسی کار نمی‌کنند (مانند تلسکوپ هابل) و یا به اندازه کافی دقیق نیستند و یا برای پایدارسازی ماشین‌های پرنده مثل هلیکوپترهای هدایت شونده توسط رادیو و یا  UAVها به منظور عکسبرداریهای هوایی می‌باشد. به دلیل دقت بالاتر، ژیروسکوپ‌ها همچنین در حفظ جهت در معدن کاری تونل‌ها هم به کار می‌روند.
پلتفرمهاي ژايروسكوپي قرار گرفته بر روي وسايل پرنده مخصوصا موشكها و هواپيماهاي بدون سرنشين (UAV) به عنوان يك مسئله مهم در تجهيزات ناوبري تبديل شدهاند. همچنين اين ادوات به عنوان تجهيزات مناسبي براي ديدهباني، سيستمهاي تعقيب، موقعيتيابي هدف و دوربينهاي تلوزيوني مورد استفاده قرار ميگيرند. شکل 3-1 نمونهای از استفاده از پلتفرمهای پایدار شده را در یک ناوچه نظامی نشان میدهد.
شکل 3-1- کاربرد نظامی پلتفرم پایدار شده در یک ناوچه نظامی
در ادامه پلتفرمهاي ژايروسكوپي بايد با بالا بردن قابلبت اعتماد عملياتي آنها و دقت بالاي آنها بهبود داده شوند تا بتوانند يك حركت از پيش تعيين شده را به خوبي دنبال كنند. از آنجا كه موقعيتهاي عملياتي شامل لرزشها و اغتشاشات خارجي ميباشد انتخاب پارامترهاي پلتفرم هم در مرحله طراحي و هم در مرحله عملياتي از اهميت بالايي برخوردار خواهد بود.
1- 1- عکس برداری و فیلم برداری هوایی
اولین عکس برداری هوایی در سال 1858 توسط یک بالون سوار به نام گاسپار فلیکس تورناچون (GASPARD- FELIX TOURNACHON) انجام گرفت. شکل 4-1 عکس هوایی گرفته شده از پاریس توسط وی را در سال 1868 نشان می دهد [20]. عکس برداری و فیلم برداری های هوایی باعث شده است تا انسان بتواند اطلاعات بسیار بیشتر و مناسب تری را از محیط اطراف خود به دست آورد. برای مثال در بعضی کاربردهای خاص اطلاعاتی مورد نیاز است که تنها با استفاده از این گونه عکس ها و فیلم ها قابل دسترسی بوده و با اطلاعات معمولی قابل انجام نمی باشند. بعضی زمینه هایی که به طور گسترده از این گونه اطلاعات هوایی استفاده می کنند عبارتند از: کنترل بحران، مطالعات محیطی و کشاورزی، نقشه برداری و همچنین توسط پلیس [21].
شکل 4-1- عکس هوایی گرفته شده از پاریس توسط تورناچون (1868)
به منظور عکسبرداری مناسب توسط یک دوربین سوارشده روی یک وسیله نقلیه در ابتدا باید بتوان حرکت دوربین و وسیله نقلیه را از یکدیگر جدا نمود. این جداسازی با سوارکردن دوربین روی یک پلتفرم که بتواند یک ورودی مرجع ثابت را در فضای اینرسی دنبال کند امکان پذیر است. برای این منظور یک سیستم متشکل از سنسورها برای اندازه گیری جهت پلتفرم در مختصات اینرسی و عملکردها برای چرخاندن پلتفرم به منظور جبران حرکات وسیله نقلیه مورد نیاز می باشد. تاکنون پلتفرم های زیادی به منظور پایدارسازی دوربین در مطالعات سطح زمین مورد استفاده قرار گرفته است. جدول 1-1 بعضی از این پایدارکننده های پلتفرم را نشان می دهد. این پلتفرم ها عمدتاً به منظور نصب بر روی هلیکوپترها و یا وسایل پرنده بدون سرنشین (UAV) طراحی شده اند.
FIELD OF VIEWSTABILISATION BANDWIDTHMAXIMUM ROTATION RATEPLATFORM MANUFACTURERPITCH/ROLLAZ/EINOT SPECIFIEDTENIX UAV STABILISED GIMBALFLOATOGRAPH SKYDOCIMAR IICSC-DLNOT SPECIFIEDSOUTHERN RESEARCH INSTITUTE SEAIP
جدول 1-1- مشخصات پلتفرم های قابل دسترسی در بازار
2- 1- اهداف پایان نامه
هدف اصلی این پایان نامه طراحی یک کنترل ساده و مؤثر به منظور پایدار سازی پلتفرم نصب شده بر روی یک وسیله پرنده می باشد تا بتوان عکسبرداری و فیلمبرداری هوایی مناسبی را به دست آورد. مشخصات پایه ای یک پایدارساز پلتفرم عبارتند از:
1-ردیابی یک سیگنال مرجع بدون اثر پذیری از چرخش های وسیله پرنده .
2- قابلیت تغییر نقطه مرجع پلتفرم به راحتی و آرامی توسط کاربر
این دو ویژگی به این معنا هستند که دوربین سوار شده روی پلتفرم باید مستقل از شرایط مختلف پرنده بتواند به طور مؤثر عمل کند و نمایش مناسبی را در مورد فضای مورد بررسی در اختیار کاربر قرار دهد.
3- 1- قواعد و اصول
بهترین وسیله ای که در زمینه کنترل جهت و موقعیت مورد استفاده قرار گرفته است، ژیروسکوپ می باشد [8]. در سال 1852 آقای فوکالت (FOUCAULT) ژیروسکوپ را وسیله ای با مومنتوم زاویه ای بسیار زیاد تعریف کرد. اسکار بورق (SCAR BOROUGH) تعریف دقیق تری از ژیروسکوپ را ارائه داد. وی گفت ژیروسکوپ وسیله ای مکانیکی است که بخش مهم آن که چرخ هرزگرد (FLYWHEEL) می باشد دارای لبه های سنگین بوده و به گونه ای نصب شده که بردار چرخش آن می تواند در هر جهتی حول یک نقطۀ ثابت در آن بردار بچرخد[6]. پلتفرم پایدار طراحی شده در این پایان نامه براساس قوانین پایداری ژیروسکوپی می باشد. یک ژیروسکوپ سه درجه آزادی در شکل 5-1 نشان داده شده است. این ژیروسکوپ سه حلقه دارد که سبب می گردد محور چرخش نسبت به مرکز جرم در سه جهت آزادی داشته باشد. توضیحات کلی درمورد بعضی ویژگی های ژیروسکوپ با توجه به مراجع [6] و [8] در ادامه خواهد آمد.
شکل 5-1- ژیروسکوپ 3 درجه آزادی
شکل 6-1 اصول قوانین حرکت یک ژیروسکوپ را نشان می دهد. سرعت زاویه ای چرخ هرزگرد یک اینرسی زاویه ای را حول محور چرخش ایجاد می کند و در صورت عدم حضور گشتاور ورودی، بردار اینرسی زاویه ای در فضای اینرسی ثابت مانده و درنتیجه یک مرجع جهت را در اختیار کاربر قرار می دهد.
این بردار اینرسی زاویه ای را می توان توسط یک گشتاور کالیبره شده در جهت دلخواه هدایت نمود. این حرکت اجباری ژیروسکوپ که تغییرجهت محور نام دارد از رابطه پایه ای زیر تبعیت می کند:
DH/DT = N (1 – 1)
شکل 6-1- قوانین پایه ای حرکت در ژیروسکوپ
که در آن H اینرسی زاویه ای و N گشتاور اعمالی می باشد.
در مقاله [6] نشان داده شده است که در یک ژیروسکوپ بی نقص، سرعت تغییرات محور جسم مستقیماً متناسب با دامنه گشتاور اعمالی بوده و با سرعت چرخش و مومنتوم اینرسی در محور چرخشِ چرخ هرزگرد نسبت عکس دارد. برای مثال، در شکل 7-1 سیستم محورها بر روی جسم درحال چرخش ثابت شده و مومنتوم اینرسی در جهت محور Xها بسیار بزرگ تر از میزان آن در جهت Yها و Zها می باشد. در صورتی که T گشتاور خروجی اعمالی به ژیروسکوپ برای به وجود آوردن یک مومنتوم زاویه ای Hباشد، سرعت چرخش محورها Ω، به صورت زیر نشان داده می شود:
T/H =Ω (1-2)
در اینجا گشتاور معمولاً درجهت Y و تغییر محورها بیشتر در جهت محور Zها صورت می گیرد.
ذکر این مسأله قابل توجه است که حرکات ژیروسکوپ تحت تأثیر اغتشاشات خارجی پایدار و پریودیک می باشد. این نوسانات پریودیک به عنوان تغییر در محور، شناخته می شود و برای در اختیار داشتن یک ژیروسکوپ عملی باید حذف گردند [8]. هرچه سرعت چرخ هرزگرد بیشتر باشد، دامنه این نوسانات کمتر و فرکانس نوسانات هارمونیک نیز کمتر می گردد. فرکانس نوسانات از رابطه (3-1) به دست می آید.
Ω= (CΨ ̇)/2ΠA ( 1-3)
که در آن C مومنتوم اینرسی چرخ هرزگرد حول محور چرخش آن وΨ ̇سرعت زاویه ای چرخ هرزگرد و A مومنتوم اینرسی محور عمود بر محور چرخشِ چرخ هرزگرد می باشد.
شکل 7-1- دوران ژیروسکوپ تحت گشتاور خارجی
بنابراین با توجه به مومنتوم زاویه ای چرخ هرزگرد یک رابطه معکوس بین نیروی اعمالی موردنیاز برای به دست آوردن نرخ دقت مورد نظر و نیروی کنترلی مورد نیاز برای یک حرکت محوری آرام وجود دارد. هرچه مومنتوم زاویه ای بزرگتری توسط چرخ هرزگرد تولید گردد حالات نوسانی کوچکتری ایجاد می گردد ولی گشتاور بزرگتری برای رسیدن به سرعت چرخش محور موردنیاز خواهد بود.
فصل دوم:
تئوری ژیروسکوپ و استخراج مدل آن
در این فصل مختصات های مختلف مورد استفاده در ژیروسکوپ معرفی شده و مورد بررسی قرار خواهند گرفت. همچنین قواعد تبدیل هر مختصات به مختصات دیگر نیز معرفی می گردند. سپس نحوۀ استخراج معادلات حرکت اویلر که به یک مدل ریاضی پلتفرم پایدار شده منتج می گردد، نشان داده خواهد شد.
1- 2 – تعریف محورهای مختصات
به منظور تعریف و کنترل یک پلتفرم پایدار شده چهار دسته سیستم مختصات تعریف می گردد که در زیر آمده است:
1- سیستم محورهای اینرسی
2- سیستم محورهای بدنه هواپیما
3- سیستم محورهای پلتفرم
4- سیستم محورهای گیمبال (حلقه)
1- 1- 2 محور مختصات اینرسی
این محور مختصات نسبت به زمان ثابت بوده و تغییر نمی کند. جهت گیری بدنه وسیله متحرک را می توان با توجه به سمت آن در مختصات اینرسی مشخص نمود. در این مختصات قوانین نیوتون قابل اجرا می باشد [8].
در این پایان نامه زمین صاف و ثابت درنظر گرفته می شود که با توجه به نسبت حرکت زمین و وسیله متحرک، فرض درستی به نظر می رسد. بنابراین سیستم محورهای اینرسی O_I-X_I Y_I Z_I به عنوان یک دستگاه ثابت نسبت به زمین و متعامد در نظر گرفته می شود که X_I در جهت شمال، Y_I در جهت شرق و Z_I عمود بر این دو محور، در نظر گرفته می شود.
2- 1- 2 محور مختصات بدنه هواپیما
این دستگاه مختصات نیز،O_B-X_B Y_B Z_(B ) همان طور که در [12] توضیح داده شده و در شکل 1-2 نیز نشان داده شده است به گونه ای درنظر گرفته می شود که X_B در جهت دماغه هواپیما، Y_B درسمت راست و Z_B در جهت پایین و عمود به دو محور دیگر قرار گیرد. مرکز محورها O_B، در محل مرکز جرم در نظر گرفته می شود.
شکل 1-2- محورهای مختصات بدنه جسم پرنده
دستگاه مختصات بدنه نسبت به بدنه هواپیما ثابت می باشد ولی با تغییر جهت هواپیما نسبت به مختصات اینرسی تغییر می کند. سمت و سوی بدنه هواپیما با زوایای Φ_B، Θ_B و Ψ_B توصیف می گردد. در این پایان نامه برای طراحی کنترل کننده های پلتفرم در ابتدا تصور می گردد که هواپیما در حالت بدون زاویه و مستقیم درحالت حرکت می باشد. در واقعیت زوایای غلتیدن (ROLL) و اوج (PITCH) نسبت به مختصات اینرسی کوچک بوده و در ضمن محور Z_B و محورگیمبال (تعریف شده در بخش 1-2-3) با تغییرات زاویه انحراف جسم پرنده (YAW) بر روی هم منطبق باقی می ماند (شکل 2-2).
بنابراین در ادامه فرض می گردد سیستم مختصات بدنه هواپیما باسیستم مختصات اینرسی همتراز و یکسان می باشد. هنگامی که کنترل توسط انسان صورت بگیرد، این فرض به دلیل آهسته بودن حرکات هواپیما و یا بالن به خوبی جبران می گردد.
شکل 2-2- محور گیمبال و محور پلتفرم
3-1-2 محور مختصات پلتفرم
سیستم محور پلتفرم یک مختصات متعامد می باشد که مرکز آن بر روی محل برخورد بردار دوران گیمبال و بردار چرخش ژیروسکوپ قرار دارد (شکل 2-2). با توجه به شکل 2-2 بردارهای محور مختصات پلتفرم شاملX_P به عنوان بردار دوران گیمبال داخلی به سمت بیرون صفحه، بردار Y_P سمت راست بردار X_P و در صفحه چرخش چرخ هرزگرد و Z_P عمود بر این دو بردار به سمت پایین خواهد بود. در واقع این سه بردار صفحه مختصات پلتفرم را تشکیل میدهند. دراین حالت Z_P در جهت بردار مومنتوم زاویه ای تولیدی توسط چرخ هرزگرد خواهد بود. همچنین جهت بردارهای پلتفرم نسبت به مختصات اینرسی با توجه به زوایای Φ_P، Θ_P و Ψ_P و نسبت به مختصات بدنه باتوجه به زوایای Φ_G، Θ_G و Ψ_G تعیین می گردد.
4- 1- 2 محور مختصات گیمبال
این مختصات به منظور تبیین معادلات دینامیکی حرکت ژیروسکوپ در آن تعریف می گردد. در این حالت دو سیستم مختصات متعامد با استفاده از سه محور دوران گیمبال تعریف می گردد. در شکل 2-2 این سه محور دوران با 1 و 2 و 3 نشان داده شده اند که 1 به سمت بیرون و خواننده جهت گیری شده است. محور 1 به عنوان محور دوران گیمبال داخلی، محور 2 به عنوان محور دوران گیمبال میانی و محور 3 به عنوان محور دوران گیمبال خارجی تعریف می گردند (شکل 3-2) .
2- 2- زوایای حرکات افقی و عمودی
برای نشان دادن مستقیم جهت گیری پلتفرم می توان از زوایای حرکات افقی و عمودی زاویه دید دوربین استفاده نمود. زاویه دید دوربین به صورت زیر تعریف می گردد:
و در مختصات اینرسی به صورت زیر نشان داده می شود:
[█(X_P@Y_P@Z_P )] [0 0 1]=B_P (2-1)
[█(X_I@Y_I@Z_I )] [B_XI B_YI B_ZI ]=B_I (2-2)
با توجه به شکل 3-2 زاویه حرکت افقی () را می توان زاویه میان محور X_I و تصویر بردار خط افق روی صفحه X_I-Y_I درنظر گرفت. همچنین زاویه حرکت عمودی () را می توان زاویه میان صفحه X_I-Y_I و بردار دید دوربین درنظر گرفت. این زاویه را می توان به صورت ریاضی نیز به دست آورد:
ARCTAN(B_YI/B_XI )= A_Z (2-3)
(2-4)
برای به دست آوردن زوایا در ربع صحیح باید علامت اعداد نیز درنظر گرفته شود. 
شکل 3-2- زوایای حرکات افقی و عمودی
3- 2- دوران اویلر
بهترین زوایایی که می تواند سمت و سوی دوران های بدنه را نسبت به یک نقطه ثابت نشان دهد، زوایای Φ، Θ و Ψ هستند که به زوایای اویلر شناخته می شوند. با توجه به این زوایای اویلر تبدیل بردارهای مختصات از یک مختصات به یک مختصات دیگر تعریف می گردد [7]. این تبدیلات با استفاده از سه تبدیل متوالی قابل انجام می باشد. در این پایان نامه ، توالی به صورت توالی چرخش 1-2-3 اویلر انجام می پذیرد. زوایای گیمبال Φ_G، Θ_G و 〖 Ψ〗_Gهنگامی که مختصات بدنه با مختصات اینرسی هم جهت است، درواقع زوایای اویلر در مختصات گیمبال می باشند.
با توجه به شکل 4-2 تبدیل شامل دوران O-X_I Y_I Z_I درجهت زاویه Ψ_G و حول بردار Z_I و تولید مختصات و در ادامه دوران مختصات جدید در جهت زاویه Θ_G و حول بردار Y_I^ˊ و تولید مختصات X_I^˝ Y_I^˝ Z_I^˝ O- و درنهایت دوران در جهت زاویه Φ_G و حول بردار X_I^˝ و تولید مختصات خواهد بود که این مختصات نهایی با مختصات O-X_P Y_P Z_P هم جهت خواهد بود.
برای مثال بردار V_I در مختصات O-X_I Y_I Z_I با تبدیل به بردار به بردار V_P در مختصات O-X_P Y_P Z_P تبدیل خواهد شد که از لحاظ ریاضی به صورت زیر نشان داده می شود:
V_I^ˊ= A_3 (Ψ_G ) V_I (2-5)
V_I^˝= A_2 (Θ_G ) V_I^ˊ (2-6)
V_I^(˝ˊ)= A_1 (Φ_G ) V_I^˝ (2-7)
که در آن داریم:
A_3 (Ψ_G )= [■(COS⁡〖Ψ_G 〗&SINΨ_G&0@-SINΨ_G&COSΨ_G&0@0&0&1)] (2-8)
A_2 (Θ_G )= [■(COS⁡〖Θ_G 〗&0&-SINΘ_G@0 &1&0@SINΘ_G&0&COS⁡〖Θ_G 〗 )] (2-9)
A_1 (Φ_G )=[■(1&0&0@0 &COS⁡〖Φ_G 〗&SINΦ_G@ 0&-SINΦ_G&COS⁡〖Φ_G 〗 )] (2-10)
شکل 4-2- توالی چرخش 1-2-3 اویلر
با ادغام معادلات (8-2) الی (10-2) به یک ماتریس کسینوسی جهتی ( (DCM)ِDIRECTIONAL COSINE MATRIX) خواهیم رسید که در فرمول (11-2) نشان داده شده است:
A_321 (Φ_G, Θ_G, Ψ_G)= A_1 (Φ_G) A_2 (Θ_G) A_3 (Ψ_G) =
[■(COS⁡〖Θ_G 〗 COS⁡〖Ψ_G 〗&COS⁡〖Θ_G 〗 SIN⁡〖Ψ_G 〗&-SIN⁡〖Θ_G 〗@-COS⁡〖Θ_G 〗 SIN⁡〖Ψ_G 〗+SIN⁡〖Φ_G 〗 SIN⁡〖Θ_G 〗 COS⁡〖Ψ_G 〗&COS⁡〖Φ_G 〗 COS⁡〖Ψ_G 〗+SIN⁡〖Φ_G SIN⁡〖Θ_G 〗 〗 SIN⁡〖Ψ_G 〗&SIN⁡〖Φ_G 〗 COS⁡〖Θ_G 〗@SIN⁡〖Φ_G 〗 SIN⁡〖Ψ_G 〗+COS⁡〖Φ_G 〗 SIN⁡〖Θ_G 〗 COS⁡〖Ψ_G 〗&-SIN Φ COS⁡Ψ+COS⁡〖Φ_G 〗 SIN⁡〖Θ_G 〗 COS⁡〖Ψ_G 〗&COS⁡〖Φ_G 〗 COS⁡〖Θ_G 〗 )] (2—11)
در این حالت یک بردار که در مختصات اینرسی قرار دارد با استفاده از تبدیل زیر به مختصات پلتفرم منتقل می شود:
V_P= A_321 V_I (2-12)
همچنین برای تبدیل یک بردار در مختصات پلتفرم به یک بردار در مختصات اینرسی می توان از ترانسپوز ماتریس A_321 استفاده نمود:
V_I= A_321^T V_P (2-13)
4-2- نرخ دوران اویلر
سرعت زاویه ای کلی پلتفرم با توجه به زوایای اویلر به صورت زیر نوشته می شود:
Ω=Ψ ̇_G Z_I+Θ ̇_G 〖Y^’〗_I+Φ ̇_G 〖X^″〗_I (2-14)

با بکارگیری معادلات (5-2) الی (7-2) بردارهای یکه در معادله (14-2) در مختصات پلتفرم عبارتند از:
Z_I=-SINΘ_G X_P+SINΦ_G COSΘ_G Y_P+COS⁡〖Φ_G 〗 COS⁡〖Θ_G 〗 Z_P (2-15)
Y_I^’= COS⁡〖Θ_G 〗 Y_P-SIN Φ_G Z_(P ) (2-16) 〖X^″〗_I=∂X/∂T=X_P (2-17)
بنابراین سرعت زاویه ای در مختصات پلتفرم عبارت است از
Ω= Ω_(X_P ) X_P+Ω_(Y_P ) Y_P+ Ω_(Z_P ) Z_P (2-18)
با جایگذاری معادلات (15-2) الی (17-2) در معادله (14-2) می توان ضرایب را در معادله (18-2) به دست آورد:
Ω_(X_P )= Φ ̇_G-SIN Θ_G Ψ ̇_G (2-19)
Ω_(Y_P )= COS Φ_G Θ ̇_G+SIN Φ_G COSΘ_G Ψ ̇_G (2-20)
Ω_(Z_P )= -SIN Ψ_G Θ ̇_G+COS Φ_G COSΘ_G Ψ ̇_G (2-21)
معادلات بالا را به فرم ماتریسی می توان نوشت:
[■(Ω_(X_P )@Ω_(Y_P )@Ω_(Z_P ) )] =[■(1&0&-SIN⁡〖Θ_G 〗@0&COS⁡〖Φ_G 〗&SINΦ_G COSΘ_G@0&-SINΦ_G&COSΦ_G COSΘ_G )][■(Φ_G@Θ_G@Ψ_G )] (2-22)
سرعت های زاویه ای در گیمبال های خارجی، میانی و داخلی توسط رابطه (32-2) قابل تعریف می باشد:
Ω= Ω_1 1+Ω_2 2+Ω_3 3 (2-23)
با توجه به اینکه Z_I≡3 ، Y_I^’≡2 و≡3 〖X^″〗_I سرعت های زاویه ای اویلر یعنیΦ ̇_G ، 〖 Θ ̇〗_G و 〖 Ψ ̇〗_Gبا سرعت های زاویه ای گیمبال ها یعنی Ω_2 ، Ω_(1 ) Ω_3 , معادل خواهند بود. بنابراین رابطه (23-2) تبدیل سرعت های زاویه ای از مختصات پلتفرم به مختصات گیمبال را در اختیار قرار خواهد داد.
5-2- معادلات حرکت اویلر
تغییرات زمانی مومنتوم زاویه ای یک جسم سلب در برابر گشتاور اعمالی از طریق قانون دوم نیوتون در حرکت دورانی طبق رابطه (25-2) قابل بیان می باشد.
DH/DT=N (2-24)
در این رابطه N بردار گشتاور اعمالی به جسم و H مومنتوم زاویه ای آن است که خود آن از رابطه زیر تعریف می گردد:
H= I.Ω (2-25)
I= [■(I_XX&I_XY&I_XZ@I_YX&I_YY&I_YZ@I_ZX&I_ZY&I_ZZ )] (2-26)
همان طور که ملاحظه می گردد، رابطه (24-2) در مختصات اینرسی بیان شده است. از آنجا که مومنتوم تنش اینرسی (I) در مختصات بدنه به راحتی قابل بیان است ، بهتر است که رابطه (24-2) را نیز در مختصات بدنه بیان نماییم. بنابراین باید مشتق زمانی H را در مختصات بدنه به دست آوریم. تئوری (CORIOLIS) بیان می دارد که:
〖(D/DT)〗_BODY (.)= 〖(D/DT)〗_INERTIA (.)+ Ω×(.) (2-27)
طبق این رابطه یک بردار دلخواه (0) از یک مختصات به مختصات دیگر قابل انتقال بود [3]
با جایگذاری، رابطه (24-2) را به صورت زیر خواهیم چاشت:
I DΩ/DT= N – Ω ×IΩ (2-28)
بنابراین رابطه (28-2) رابطه برداری معادله اویلر در مورد یک جسم سلب می باشد که بردارهای آن در مختصات بدنه تعریف شده اند [7]. در مورد یک جسم که روی آن یک چرخ هرزگرد نصب شده باشد، مومنتوم زاویه ای کل، مجموع مومنتوم زاویه ای ناشی از حرکت چرخشی بدنه و مومنتوم زاویه ای تولیدی توسط چرخ هرزگرد (H) خواهد بود. این مومنتوم کلی را می توان به صورت زیر بیان نمود:
H= IΩ +H (2-29)
با تبدیل این رابطه و تولید آن در مختصات بدنه طبق رابطه اویلر خواهیم داشت:
I ( DΩ)/DT= N –Ω ×IΩ-DH/DT- Ω ×H= N –DH/DT – Ω ×(IΩ+H) (2-30)
از آنجا که سرعت زاویه ای چرخ هرزگرد ثابت در نظر گرفته می شود بنابراین:
DH/DT= 0 (2-31)
و خواهیم داشت:
I DΩ/DT= N – Ω ×(IΩ+H) (2-32)
درنهایت رابطه (32-2) معادله حرکت یک جسم سلب که یک وسیله با سرعت زاویه ای ثابت روی آن نصب شده است را نشان می دهد.
6-2- معادلات حرکت ژیروسکوپ
برای به دست آوردن معادلات دینامیکی یک ژیروسکوپ باید بتوان معادله (32-2) را حول محورهایی که ژیروسکوپ می تواند حرکت کند تعریف نمود. هر گیمبال یک جسم سلب جداگانه می باشد و لذا باید سه معادله حرکت اویلر مجزا را برای هر کدام نوشت. به منظور ساده نمودن تحلیل، فرض می گردد که هر گیمبال دارای یک مومنتوم تنش اینرسی کروی است، بنابراین تأثیرات اینرسی آنها روی یکدیگر قابل چشم پوشی می باشد.
I = [■(I_11&0&0@0&I_22&0@0&0&I_33 )] (2-33)
در نتیجه برآیند معادلات اویلر تنها در جهت محورهای چرخش گیمبال 123- O خواهد بود. در طول این محورهای چرخش داریم:
N = [■(N_(M_1 )+N_(Ω_1 )@N_(M_2 )+N_(Ω_2 )@N_(M_3 )+N_(Ω_3 ) )] (2-34)
N_Mها درواقع گشتاور کنترلی اعمال شده به گیمبال ها و N_Ωها گشتاور اصطکاک روی گیمبالها می باشند. در این عبارت N مجموع چند بردار ساده هندسی نمی باشد و نشان دهنده یک گشتاور فیزیکی ساده نخواهد بود. درواقع یک بردار ریاضی خواهد بود که المان های آن اندازه سه بردار گشتاور فیزیکی هستند که لزوماً بر هم عمود نیز نیستند.
برای توصیف حرکت چرخشی گیمبال های داخلی و میانی، معادله (32-2) در مختصات “3 2 1 – O و برای توصیف حرکت چرخشی گیمبال خارجی، این معادله در مختصات 3 2 ΄1- O استفاده خواهد شد.
در این مرحله قصد داریم بردار سرعت زاویه ای را نیز همانند بردار مومنتوم زاویه ای مورد بررسی قرار دهیم. شکل های 5-2 و 6-2 ارتباط بین سیستم های مختصاتی مرتبط را نشان می دهد و می تواند به عنوان یک کمک در بخش های بعدی مورد استفاده قرار گیرد. شکل 6-2 تبدیل معادل با معادله (7-2) و شکل 6-2 تبدیل معادل با معکوس معادله (6-2) را نشان می دهد.
شکل 5-2- بردار تبدیل از مختصات پلتفرم به مختصات “3 2 1- O
شکل 6-2- بردار تبدیل از مختصات “3 2 1- Oبه مختصات 3 2 ΄1- O
– استخراج معادلات حرکت در مختصات “3 2 1- O
می توان W_3 3 را در مختصات “3 2 1- O به دست آورد. برای این کار باید معکوس تبدیل نشان داده شده در شکل 6-2 را اعمال نمود:
A_2 (Θ_G ) W_(3 )= [■(COSΘ_G&0&-SIN Θ_G@0&1&0@SINΘ_G&0&COSΘ_G )][■(0@0@Ω_3 )]= [■(-Ω_3 SINΘ_G@0@Ω_3 COSΘ_G )] ( 2-35)
بنابراین بردار سرعت زاویه ای را می توان در مختصات “3 2 1- O به صورت زیر نشان داد:
Ω_123″= [■((Ω_1-Ω_3 SINΘ_G )&Ω_2&Ω_3 COSΘ_G )][■(1@2@3”)] (2-36)
معمولاً مومنتوم زاویه ای را هم جهت با بردارZ_P درنظر می گیرند که می تواند به صورت زیر نوشته شود:
H_0= H_(0 ) Z_P (2-37)
با توجه به شکل 5-2 بردار H_0 را می توان مختصات ″3 2 1- O به صورت زیر به دست آورد.
A_1^T (Φ_G ) H_0=[■(1&0&0@0&COSΦ_G&-SIN Φ_G@0&SIN Φ_G&COSΦ_G )][■(0@0@H_0 )]=[■(0@-H_0 SINΦ_G@H_0 COSΦ_G )] (2-38)
و بنابراین مومنتوم زاویه ای در مختصات ″3 2 1- O به صورت زیر قابل بیان می باشد.
H_(123^″ )= [■(0&-H_0 SINΦ_G&H_0 COSΦ_G )][■(1@2@3^″ )] (2-39)
با انجام ضرب برداری بین مومنتوم زاویه ای و سرعت زاویه ای در مختصات ″3 2 1- O به ماتریس (40-2) خواهیم رسیر. Ω×H=[■(1&2&3^″@Ω_1-Ω_3 SIN⁡〖Θ_G 〗&Ω_2&Ω_3 COS⁡〖Θ_G 〗@0&-H_0 SIN⁡〖Φ_G 〗&H_0 COS⁡〖Φ_G 〗 )]=

(〖Ω_2 H〗_0 COSΦ_G+Ω_3 H_0 SINΦ_G COSΘ_G) 1
– (Ω_1 H_0 COSΦ_G-Ω_3 H_0 COSΦ_G SINΘ_G)2
+ (- Ω_1 H_0 SINΦ_G+Ω_3 H_0 SINΦ_G SINΘ_G) 3″ (2-40)
با توجه به اینکه محور ″3 محور چرخش گیمبال نیست و با جایگذاری معادله (40-2) در معادله (32-2) خواهیم داشت:
I_11 Ω ̇_1=N_1-Ω_2 H_0 COSΦ_G-Ω_3 H_0



قیمت: تومان

دسته بندی : مقاله و پایان نامه

دیدگاهتان را بنویسید