دانشکدهی علوم
پایاننامهی کارشناسی ارشد در رشته‌ی
فیزیک- حالت جامد
مقایسه خواص اپتیکی نقاط کوانتومی کروی درمدل‌های مختلف پتانسیل محدودکننده
به کوشش
فهیمه جوادی شکرو
استادان راهنما
دکتر محمود براتی خواجویی
دکتر محمود مرادی
شهریور ماه 1392
به نام خدا
اظهارنامه
اینجانب فهیمه جوادی شکرو رشته فیزیک گرایش حالت‌ جامد دانشکدهی علوم اظهار می کنم که این پایان‌نامه حاصل پژوهش خودم بوده و در جاهایی که از منابع دیگران استفاده کرده‌ام، نشانی دقیق و مشخصات کامل آن را نوشته‌ام همچنین اظهار می‌کنم که تحقیق و موضوع
پایاننامه‌ام تکراری نیست و تعهد می‌نمایم که بدون مجوز دانشگاه دستاورد‌های آنرا منتشر ننموده و یا در اختیار غیر قرار ندهم . کلیه حقوق این اثر مطابق با آیین نامه مالکیت فکری ومعنوی متعلق به دانشگاه شیراز است.
نام و نام خانوادگی: فهیمه جوادی شکرو
تاریخ و امضا:31/6/92
تقدیم به:
پدر و مادر عزیزم، به زیباترین آفرینش‌های خالق هستی، سایه‌بانان آرامش و تکیه‌گاهان زندگی
و همسرم، به پاس قدردانی از قلبی آکنده از عشق و معرفت
سپاسگزاری
اکنون که در سایه‌ی لطف و عنایت پروردگار مهربانم توانستم مرحله دیگری از تحصیلاتم را با موفقیت به پایان رسانم به رسم ادب و سنت حصنه سپاس لازم می‌دانم از تمام کسانی که مرا در این مسیر یاری نمودند، تشکر و قدردانی نمایم:
حمد وسپاس خدایی را که به ما عقل داد و از طریق عقل به ما علم آموخت.
و با سپاس فراوان از استادان فرزانه‌ام :
اساتید راهنما ، جناب آقای دکتر براتی و جناب آقای دکتر مرادی که دانایی‌شان، علم کلامشان، روشنایی و شاگردیشان افتخار را برایم به همراه داشت.استادان گرانقدری که با راهنمایی‌های گرانقدرشان مرا در پیمودن راه یاری نمودند.
از اساتید محترم مشاور جناب آقای دکتر دعوت‌الحق و جناب آقای دکتر ذاکری که همواره از نظرات و راهنمایی‌های ارزشمندشان بهره فراوان برده‌ام سپاسگزارم.
از جناب آقاي دکتر منتخب که زحمت مطالعه و داوري اين پايان‌نامه را تقبل نمودند، سپاسگزارم.
و از تمام اساتیدبخش فیزیک دانشگاه شیراز که چگونه اندیشیدن را از آنان آموختم.
در نهایت از فرد فرد اعضای خانواده‌ام که در تمام این سال‌ها پشتیبان و مشوقم بودند تشکر می‌کنم.
چکیده
مقایسه خواص اپتیکی نقاط کوانتومی کروی
در مدل‌های مختلف پتانسیل محدودکننده
به کوشش
فهیمه جوادی شکرو
نقطه‌ی کوانتومی یکی از سیستم‌های کوانتومی نیم‌رسانا است که در آن، حرکت حامل‌های بار در تمام راستاهای فضایی محدود می‌باشد. این محدودیت فضایی سبب کوانتیدگی ترازهای انرژی الکترون‌ها در نوار رسانش شده، خصوصیات فیزیکی این سیستم‌های نیم‌رسانا را دگرگون می‌سازد. علاوه بر این ، یکی از مهم ترین مشخصه‌های نقطه‌های کوانتومی امکان گذار بین زیر نوارها در نوار رسانش و یا ظرفیت بوده و این امر توجه بسیاری از علاقه‌مندان را در سال‌های اخیر به خود جلب نموده است. بررسی خواص الکترونی و اپتیکی نقطه‌های کوانتومی نه تنها از دیدگاه نظری بلکه به علت کاربرد وسیع آن‌ها در ساخت لیزرهای نیم‌رسانا، قطعات الکترونیکی و اپتوالکترونیکی مورد توجه بوده است.
در این پایان‌نامه به بررسی خواص الکترونی و نوری نقاط کوانتومی کروی با مدل‌های مختلف پتانسیل محدودکننده پرداختیم. بدین منظور، به کمک نرم‌افزار کامسول، که از روش المان محدود برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی استفاده می‌کند و با استفاده از تقریب جرم موثر، ویژه مقادیر و ویژه توابع انرژی را برای پتانسیل‌های گاوسی،Pöschl Teller، کسری و مورس به‌دست آوردیم. همچنین گذارهای نوری بین زیرنواری را برای این سیستم‌ها بررسی کردیم. برای این منظور از فرمالیسم ماتریس چگالی و روش اختلال برای به‌دست آوردن تغییرات ضریب شکست و ضریب جذب نقطه‌ی کوانتومی استفاده شد. تغییرات ضریب شکست و ضریب جذب خطی و غیرخطی مرتبه سوم را به عنوان تابعی از شدت فوتون فرودی و برای پتانسیل‌های مختلف رسم کردیم. نتایج نشان می‌دهد که قله‌ی ضرایب جذب و شکست در پتانسیل گاوسی نسبت به پتانسیل‌های دیگر، به سمت انرژی‌های بیشتر جابه‌جا می‌شود. با مقایسه‌ی جواب ‌های بدست آمده با مطالعات تجربی می‌توان بهترین مدل را برای پتانسیل محدودکننده انتخاب کرد.
واژگان کلیدی: نقطه‌ی کوانتومی، پتانسیل محدودکننده، ضریب جذب، تغییرات ضریب شکست
فهرست مطالب
عنوان صفحه
فصل اول: مقدمه‌
1-1- معرفی و تاریخچه‌ی ساختار‌های کوانتومی2
1-1-1-چاه‌های کوانتومی و ابر شبکه‌ها4
1-1-2-سیم های کوانتومی6
1-1-3- نقاط کوانتومی7
1-2-تقریب جرم موثر9
1-3-هدف11
فصل دوم: معرفی نرم افزار COMSOL Multiphysics
2-1- مقدمه13
2-2-محیط نرم‌افزار COMSOL Multliphysics14
2-3-تعیین ابعاد و هندسه14
2-4-ساخت شبکه (meshing)16
2-5-مرحله‌ی پس‌پردازش(Post processing)17
2-6-حل معادله‌ی شرودینگر در کامسول17
عنوان صفحه
فصل سوم: ساختار انرژی نقاط کوانتومی با مدل‌های مختلف
3-1-گالیم آرسناید20
3-2- محاسبه‌ی انرژی نقطه‌ی کوانتومی کروی21
3-2-1- پتانسیل بی‌نهایت21
3-2-2- پتانسیل پله ای23
3-3-مقایسه‌ی طیف انرژی پتانسیل‌های مختلف27
فصل چهارم: مطالعه‌ی خواص نوری نقطه‌ی کوانتومی
4-1-مقدمه31
4-2-ماتریس چگالی32
4-3-حل معادله‌ی تحول زمانی ماتریس چگالی با استفاده از روش اختلال34
4-4-محاسبه‌ی ضرایب جذب و شکست خطی و غیر خطی مرتبه‌ی سوم37
4-4-1-محاسبه‌ی پذیرفتاری خطی37
4-4-2-محاسبه‌ی پذیرفتاری غیرخطی مرتبه‌ی سوم40
4-4-3-محاسبه‌ی تغییرات ضرایب جذب و شکست نقطه‌ی کوانتومی47
فصل پنجم: محاسبات عددی و نتایج مربوط به خواص اپتیکی
5-1-پتانسیل گاوسی51
5-2- پتانسیل Pöschl Teller54
5-3- پتانسیل کسری57
5-4- پتانسیل مورس60
5-5-نتیجه‌گیری63
منابع64
چکیده و صفحه عنوان به انگلیسی
فهرست جدولها
عنوان صفحه
جدول3-1 پارامتر‌های اساسی GaAs و AlxGa1-xAs21
جدول3-2 مقایسه‌ی جواب‌های تحلیلی و عددی برای پتانسیل بی‌نهایت23
جدول3-3 مقایسه جواب‌های تحلیلی و عددی انرژی حالت پایه نقطه کوانتومی کروی
پله‌ای برای شعاع های مختلف25
جدول3-4 مقایسه‌ی ویژه مقادیر انرژی برای پتانسیل‌های مختلف، در حالتm=029
جدول 5-1 تاثیر پتانسیل محدودکننده بر ترازهای انرژی، تغییرات ضریب جذب
و ضریب شکست63
فهرست شکلها
عنوان صفحه
شکل‏1–1 نمایی ساده ازیک چاه کوانتومی(چپ) ونموداری تقریبی از چگالی حالت‌های
چاه کوانتومی(راست(5
شکل‏1–3 نمایی ساده از یک نقطه کوانتومی(چپ) و نموداری تقریبی از چگالی
حالت‌های نقطه کوانتومی(راست(7
شکل‏2–1 نمایی ازشبکه بندی هندسه در نرم افزار کامسول15
شکل‏2–2نمایی از نمودارهای سه بعدی. ازابزارهای نرم افزار کامسول برای رسم و
پردازش داده‌ها16
شکل‏3–1 وابستگی انرژی حالت پایه نقطه کوانتومی کروی پله‌ای به شعاع26
شکل‏3–2 توابع پتانسیل گاوسی،کسری،Pöschl Teller ومورس و پله‌ای28
برحسب فاصله از مرکز28
شکل‏5–1 تغییرات ضریب جذب خطی، غیرخطی مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومی
با پتانسیل گاوسی به صورت تابعی از انرژی فرودی52
شکل ‏5–2 تغییرات ضرایب شکست خطی، غیرخطی مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومی
با پتانسیل گاوسی به صورت تابعی از انرژی فرودی53
شکل‏5–3 تغییرات ضریب جذب کل نقطه کوانتومی با پتانسیل گاوسی به صورت تابعی
از انرژی فرودی و شدت نور فرودی53
شکل‏5–4 تغییرات ضریب شکست کل نقطه کوانتومی با پتانسیل گاوسی به صورت تابعی
از انرژی و شدت نور فرودی54
عنوان صفحه
شکل‏5–5 ضریب جذب خطی، غیرخطی مرتبه سوم وکل نقطه کوانتومی باپتانسیل
Pöschl Teller به صورت تابع از انرژی فوتون فرودی55
شکل‏5–6 تغییرات ضریب شکست خطی، غیرخطی مرتبه سوم وکل نقطه کوانتومی
با پتانسیل Pöschl Teller به صورت تابعی از انرژی فوتون فرودی55
شکل‏5–7 تغییرات ضریب جذب کل نقطه کوانتومی با پتانسیل Pöschl Teller به صورت
تابعی از انرژی فرودی و شدت نور فرودی56
شکل‏5–8 تغییرات ضریب شکست کل نقطه کوانتومی با پتانسیل Pöschl Teller به صورت تابعی از نرژی فرودی و شدت نور فرودی56
شکل‏5–9 تغییرات ضریب جذب خطی، غیرخطی مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومی با
پتانسیل کسری به صورت تابعی از انرژی فوتون فرودی57
شکل‏5–10 تغییرات ضریب شکست خطی، غیرخطی مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومی
با پتانسیل کسری به صورت تابعی از انرژی فرودی58
شکل 5-11 تغییرات ضریب جذب کل نقطه کوانتومی با پتانسیل کسری به صورت تابعی
از انرژی فرودی وشدت نور فرودی59
شکل 5-12 تغییرات ضریب شکست کل نقطه کوانتومی با پتانسیل کسری به صورت تابعی
از انرژی فرودی وشدت نور فرودی59
شکل 5-13 تغییرات ضریب جذب خطی ، غیر خطی مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومی
با پتانسیل مورس به صورت تابعی از انرژی فوتون فرودی60
شکل 5-14 تغییرات ضریب شکست خطی ، غیر خطی مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومی
با پتانسیل مورس به صورت تابعی از انرژی فوتون فرودی61
شکل 5-15 تغییرات ضریب جذب کل نقطه کوانتومی با پتانسیل گاوسی به صورت تابعی
از انرژی فرودی وشدت نور فرودی62
شکل5-16 تغییرات ضریب شکست کل نقطه کوانتومی با پتانسیل گاوسی به صورت تابعی
از انرژی فرودی وشدت نور فرودی62
فصل اول
مقدمه‌
علم نانو به مطالعه و بررسی مواد در ابعاد اتم و مولکول یعنی ابعادی در حدود 1 تا 100 نانومتر می‌پردازد.در این ابعاد، اثرهای مکانیک کوانتومی اهمیت پیدا می کند. با کاهش اندازه‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ی سیستم، پدیده‌های فراوانی که به دلیل اثرات مکانیک کوانتومی و مکانیک آماری در این ابعاد است، نمایان می شوند. مثلاٌ خواص الکترونیکی جامدات با کاهش اندازه‌ی ذرات به طور چشمگیری تغییر می‌کند. این اثرات در مقیاس 100 نانومتر و کوچکتر نمایان می شود. همچنین خصوصیاتمکانیکی، الکتریکی و اپتیکی نسبت به حالت ماکروسکوپی سیستم تغییر می‌کند.
معرفی وتاریخچه‌یساختار‌های کوانتومی
نیم‌رسانا‌ها امروزه به طورگسترده‌ای درعرصه علم و تکنولوژی به کار برده می‌شوند.نیم‌رسانا ماده‌ای است کهرسانندگی الکتریکی آن بین فلزات وعایق ها قراردارد. نیم‌رساناها شالوده‌ی‌ا‌‌لکترونیک حالت جامدهستندودرقطعات الکترونیکی واپتوالکترونیکی کاربرد دارند.
مطالعه‌یاولیه صورت گرفته درزمینه‌یخصوصیات فیزیکی نیم‌رساناها درمورد ساختارهای همسان1 مثل ژرمانیوم، آرسناید، سلسیوم وغیره بود. اما به تدریج مشخص شد که ساختارهایی که ازپیوند دو یا چند نیم‌رسانا تشکیل شده باشند، رفتارهای بسیار جالبی ازخود بروزمی‌دهند.این ترکیبات راساختارهای ناهمسان2 می‌نامند. ساختار‌های ناهمسان مبنای بسیاری از دستگاه‌های پیشرفته‌ی نیم‌رسانای امروزی هستند.مزیت این ساختارها امکان کنترل دقیق روی حالت‌ها وحرکت حامل‌های بار است. دیودهای پیوندی و ترانزیستور‌ها ، قطعاتی که امروزه تقریبا در تمام دستگاه‌های الکترونیکی به کار برده می‌شوند، ازساختارهای ناهمسان نیم‌رسانا ساخته می‌شوند.
پیوند دونیم‌رسانا، دریک بلورانجام می‌شود. یعنی ثابت شبکه‌ی هردو بلور یکسان است اما گاف انرژی3 وضریب شکست متفاوتی دارند.دراین ساختارهای ناهمسان نیم‌رسانا، تفاوت درگاف انرژی دو ماده سبب محدودیت فضایی الکترون وحفره می‌شود.همچنین ازخصوصیت تفاوت ضریب شکست می‌توان درتشکیل موج ‌برهای نوری استفاده کرد.
امکان کنترل رسانندگی یک نیم‌رسانا به وسیله تغلیظ4باناخالصی‌های مختلف باعث شد تا الکترونیک نیم‌رساناها ظهور پیدا کند.ساختارهای ناهمسان نیم‌رسانا نیزامکان حل مشکلات کلی در کنترل پارامترهای اساسی بلور نیم‌رسانا،ازجمله قابلیت تحرک حامل‌ها و جرم موثر، گاف انرژی، ضریب شکست وطیف انرژی الکترون را فراهم آورد]1[.
تحقیقات سیستماتیک در مورد ساختارهای ناهمسان، در اوایل دهه‌ی 1930 درمؤسسه‌ی Physicotechnical شروع شد. از آن زمان تا به حال پیشرفت‌های زیادی صورت گرفته است ومنجر بهساخت قطعاتی با کارایی بالا، ازجمله وسایل کاربردی مثل لیزرهای نیم‌رسانا، دیودهای گسیل کننده‌ی نور (LED)5، آشکارسازهای نوری6،سلول‌های خورشیدی7وغیره شده است]7-2[.
با کاهش ابعاد مواد نیم‌رسانا یعنی تولید ساختارهای ناهمسان با لایه‌هایی درحد نانومتر می‌توان از خاصیت کوانتیدگی حرکت الکترون‌ها استفاده کرد. پیشرفت‌های صورت گرفته درزمینه‌ی رشد بلورهای نیم‌رسانا از قبیل برآرایی باریکه‌ی مولکولی8 ونشست بخار شیمیایی فلز آلی9 این امکان را فراهم آورد تا بتوان نیم‌رساناهایی با ابعاد نانو و با دقت واحدهای اتمی ساخت]9-8[.
این ساختارهای فوق ریز، سیستم‌های کوانتومی نامیده می‌شوند و ازآنجا که اغلب خواص فیزیکی یک سیستم به ابعاد آن وابسته است انتظار می‌رود که خواص فیزیکی این ساختارهای فوق ریز نسبت به ساختار کپه‌ای10 کاملا متفاوت باشد. در سال‌های اخیر مطالعات بسیاری در زمینه‌ی بررسی خواص فیزیکی این ساختارها بهصورت تجربی و نظری صورت گرفته است. بررسی این ساختارهای کوانتومی نه تنها به خاطر خواص الکترونی و اپتیکی جالب آنها، بلکه به علت کاربردشان در قطعات الکترونیکی و ابزارهای نوری توجه بسیاری را به خود جلب کرده است] 6-3[.
با اعمال پتانسیل محدودکننده بر این ساختارها که به کمک ساختاری با گاف انرژی متفاوت به وجود می‌آید و با کاهش ابعاد این مواد در یک، دو و سه بعد به چاه کوانتومی دو بعدی، سیم کوانتومی شبه یک بعدی و نقاط کوانتومی شبه صفر بعدی خواهیم رسید. به این اثر، اندازه کوانتومی گفته می‌شود.اثر اندازه کوانتومی در ابعاد پایین به صورت تئوری و تجربیمطالعه شده است. همچنین تحقیقات روی ساختارهاینیم‌رسانابا حضور ناخالصی بسیارمهم است زیرا خصوصیات اپتیکی و الکتریکی و گرمایی آن‌ها را تحت تأثیر قرار می‌دهد. کنترل بی‌نظیر روی پارامترهای اساسی این ساختارها قطعاتی با کارایی بالا، از جمله انواع لیزرهای چند ساختاری دوتایی، ترانزیستورها و غیره را به وجود آورده است.
چاه‌های کوانتومی و ابر شبکه‌ها
روش‌های جدید رشد بلور مانند برآرایی باریکه‌ی مولکولی، لایه‌گذاری بخار شیمیایی آلی- فلزی و غیره امکان تولید ساختارهایی با اندازه‌های کاملا قابل تنظیم از نیم‌رساناها را فراهم ساخته است.
به این دلیل که اغلب اندازه‌ی این ساختارها از مرتبه نانومتر است، آنها را نانو ساختار نامیده‌اند. چاه کوانتومی نمونه‌ای از این ساختارهای کوانتومی است. در این ساختار حرکت حامل‌های بار در یک راستا محدود است و در دو راستای دیگر هیچ محدودیتی به حرکت حامل‌های بار اعمال نمی‌شود.در یک چاه کوانتومی یک لایه نازک از ماده ی A با گاف انرژی کوچکتر بین دو لایه ضخیم‌تر از ماده B با گاف انرژی بزرگتر قرار می‌گیرد(شکل(1-1)). این امر سبب ایجاد محدودیت بر حرکت حامل‌ها می‌شود. این محدودیت، سبب تغییر ساختار نواری و چگالی حالت‌ها نسبت به حالت کپه‌ای می‌شود.برای ملاحظه‌ی اثرهای کوانتومی درچاه کوانتومی، ضخامت نیم‌رسانای با گاف کوچکتر باید از مرتبه‌ی طول موج دوبروی11 الکترون بوده ویا از پویش آزاد میانگین12 آن‌ بسیار کوچکتر باشد.با ادامه‌ی رشد لایه‌ها روی هم چاه‌های کوانتومی چندتایی نتیجه می‌شود.
شکل‏1–1 نمایی ساده ازیک چاه کوانتومی(چپ) ونموداری تقریبی از چگالی حالت‌های چاه کوانتومی(راست(
یکی دیگراز ساختارهای مهم لایه‌های نازک ابرشبکه13 ها هستند. در دهه‌ی1970 ایساکی وتسو پیشنهاد ساخت ساختارهایی متشکل از لایه های نازک متناوب از دو ماده‌ی AوBبا گاف انرژی متفاوت را دادند و نام آن را ابرشبکه نامیدند]11-10[. ابر شبکه‌ها مجموعه ای از چاه‌های کوانتومی باارتفاع سد پتانسیل محدود هستند، که به طور تناوبی رشد داده شده‌اند .
در چاه کوانتومی چندتایی فاصله‌ی لایه‌های ماده‌یA آنقدر هست که جلوی تونل زنی از یک چاه به چاه دیگر رابگیرد . اما در ابرشبکه‌ها پهنای سد کم است و الکترون این لایه های تناوبی را به صورت یک پتانسیل دوره‌ای علاوه بر پتانسیل دوره‌ای بلور می‌بیندو الکترون با احتمال بیشتری تونل زنی می‌کند.
سیم های کوانتومی
با توجه به پدیده‌های فیزیکی جدیدی که چاه‌های کوانتومی از خود بروز می‌دهند وکاربردهای فراوان آن‌ها ازجمله ابزارهای الکترونیکی و اپتیکی که به کمک آن‌ها ساخته می شود، محققان بر این شدند تا برای افزایش کارایی،دستگاه‌هایی با ابعاد کمتر یعنی سیستم‌های یک بعدی (سیم کوانتومی) و صفر بعدی (نقطه‌ی کوانتومی) را مورد مطالعه قرار دهند. در دهه‌ی 1980 مطا‌لعه‌ی سیستم‌های شبه یک بعدی آغاز شد]13-12[.
شکل‏1–2 نمایی ساده از یک سیم کوانتومی(چپ) و نموداری تقریبی از چگالی حالت‌های سیم کوانتومی(راست(
سیم کوانتومی ساختاری است با ضخامت یا قطری در اندازه‌ی‌ ده‌ها نانومتر یا کمتر و طولی نا‌محدود. در این مقیاس اثرات مکانیک کوانتومی اهمیت پیدا می کنند. در چنین ساختارهایی حرکت حامل‌های بار در دو جهت محدود می‌باشد و تنها در راستای محور سیم به طور آزادانه حرکت می‌کنند. یک سیم کوانتومی، یک ساختار نازک و بلند از ماده A با گاف انرژی کوچکتر می‌باشد که با پوشش ضخیمی از ماده B با گاف انرژی بزرگتر احاطه شده است. محدودیت بیشتری که بر حرکت حامل‌ها در یک سیم کوانتومی نسبت به چاه کوانتومی وارد می‌شود باعث جایگزیدگی بیشتر حامل‌ها و در نتیجه، گسستگی بیشتر نوارهای انرژی می‌شود و چگالی حالت‌ها هم تغییر می‌کند(شکل(1-2)).
نانو سیم‌ها انواع مختلفی دارند، از جمله: نانو سیم‌های فلزی (مثلNi،PtوAu)، نانو سیم‌های نیم‌رسانا (مثلSiInPوGaN)،نانوسیم‌های نارسانا(مثلTiO2وSiO2) ونانوسیم‌های مولکولی که از واحد‌های مولکولی تکرارشونده ارگانیک یا غیرارگانیکساخته می‌شوند. نانو‌سیم‌های کوانتومی کاربرد‌های بسیاری دارند، از جمله ساخت وسایل مغناطیسی،نشانگرهای بیولوژیکی، سنسورهای شیمیایی.

نقاط کوانتومی
شکل‏1–3 نمایی ساده از یک نقطه کوانتومی(چپ) و نموداری تقریبی از چگالی حالت‌های نقطه کوانتومی(راست(
حد نهایی محدودیت کوانتومی، در ساختارهای شبه صفر بعدی رخ می‌دهد که در آن حامل‌های بار در هر سه جهت فضایی محدودیت حرکت دارند]14[. این محدودیت فضایی سبب کوانتیدگی ترازهای انرژی در نوار رسانش وظرفیت شده و خصوصیات فیزیکی این سیستم‌ها را دگرگون می‌سازد.
اولین بار در سال 1932 نقطه‌های کوانتومی با آلایش نانوکریستال‌های نیم‌رسانا در شیشه گزارش شد. در آن زمان برای تولید شیشه‌های رنگی از مواد نیم‌رسانا مانند روی سولفید (ZnS) و روی سلینیوم (ZnSe) در شیشه های معمولی استفاده می‌شد]15[. در این سال روکسبای ]16[ رنگ قرمز و یا زرد مشاهده شده از برخی شیشه‌های سیلیکونی را به ساختارهای ریز CdSeوCdS واقع در آن نسبت داد و پس از آن در سال 1985 مشاهده شد که تغییرات در رنگ به ترازهای انرژی ناشی از محدودیت نقطه‌های کوانتومی CdSe و CdSمربوط است.
با پیشرفت تکنولوژیبرآرایی باریکه‌ی مولکولی به عنوان یک تکنولوژی برتر در زمینه‌ی رشد نقطه‌های کوانتومی در مواد مختلف، پژوهش‌های آزمایشگاهی در مورد نقطه‌های کوانتومی به‌طور چشمگیری افزایش یافت]28-17[. در سال 1995 هم نقطه‌های کوانتومی خودسازمان‌یافته ساخته شدند]29[.
امروزه از روش‌های گوناگونی برای تولید نقطه‌های کوانتومی استفاده می‌شود، که از جمله‌ی‌‌‌‌‌‌‌‌آن‌ها می‌توان به آلایش نانوکریستال‌های نیم‌رسانا در شیشه، لیتوگرافی نوری و الکترونی، روش‌های سل-ژل، ایجاد افت وخیز بر سطح چاه‌های کوانتومی و چاه‌های کوانتومی تحت تنش اشاره نمود.
به دلیل محدودیت فضایی سه‌بعدی، چگالی حالت‌های نقطه‌های کوانتومی کاملا گسسته و اتم‌وار می‌باشد(شکل(1-3)). ترازهایانرژی نقطه کوانتومی به شدت به شکل،ترکیب، اندازه و پتانسیل محدودکننده بستگی دارد و مزیت نقاط کوانتومی این است که به دلیل امکان کنترل این پارامترهای اساسی، می‌توان کنترل دقیقی روی خواص الکترونی واپتیکی ماده داشت.
مطالعات انجام شده نشان می‌دهد که کاهش اندازه، افزایش قابل توجه خواص غیرخطی این سیستم‌ها را به دنبال دارد. بنابراین مطالعه‌ی خواص غیرخطی سیستم‌های کوانتومی نیم‌رسانا، شامل اثرات اندازه و شکل نقطه، ارتفاع و شکل پتانسیل و همچنین اثر میدان‌های الکترومغناطیسی خارجی بر تغییرات ضریب جذب14 و ضریب شکست15 نوری توجه بسیاری از پژوهشگران را به خود جلب کرده است.
یکی از مهمترین خصوصیات سیستم‌های کوانتومی،گذارهای نوری بین زیرنواری در نوار ظرفیت ونوار‌‌ رسانش است. خصوصیات اپتیکی غیرخطی مربوط به این گذارها در نقاط کوانتومی نسبت به ساختارهایی با ابعاد بیشتر(سیم کوانتومی و چاه کوانتومی) افزایش می‌یابد]34-30[.
بسته به روش رشد و شرایط محیط رشد، این نقاط اشکال گوناگونی به خود می‌گیرند. به عنوان مثال نقطه‌های کوانتومی که در روش سل-ژل یا آلایش ایجاد می‌شوند، اغلب در شکل‌هایی مانند کره]37-35[، بیضی‌گون]40-38[، عدسی شکل]41[ و شبیه به این‌ها ظاهر می‌شوند. در صورتی که نقطه‌هایی که در سطح چاه‌های کوانتومی ایجاد می‌شوند، اغلب هرمی]46-42[ یا نیم‌عدسیشکل]50-47[می‌باشند.
برای مطالعه‌ی خصوصیات فیزیکی نقطه‌های کوانتومی باید معادله‌ی شرودینگر را با شرایط مرزی مناسب در این سیستم‌ها حل نمود. برای حل معادله‌ی شرودینگر در این ساختار به طور معمول از تقریب جرم موثر16 برای نوار رسانش و ظرفیت استفاده می‌شود. معادله‌‌ی شرودینگر فقط در سیستم‌های خاصی مانند نقطه‌ی کوانتومی کروی با پتانسیل پله‌ای یا سهموی جواب تحلیلی داشته و در بقیه موارد باید با روش‌های عددی و یا تقریبی مسئله را حل نمود. در بیشتر پژوهش‌های نظری، نقطه کوانتومی را کروی در نظر گرفته، سپس خواص فیزیکی را مورد مطالعه قرار می‌دهند]53-51[.پتانسیل پله‌ای به دلیل شکستگی لبه‌ها و غیرفیزیکی بودن،هم‌خوانی لازم را با واقعیت ندارد. در واقع برای نقطه‌ی کوانتومی مرز تیز و مشخصی وجود ندارد. بنابراین انتظار می‌رود با انتخاب پتانسیل‌‌های یکنواخت و دارای انحنای بیشتر، نتایج قابل قبول‌تری به دست آید. با توجه به اینکه خواص نقاط کوانتومی وابستگی شدیدی به پتانسیل محدود کننده‌ی آن‌ها دارد، مطالعات بسیاری جهت محاسبه‌ی این وابستگی در شکل‌ها وپتانسیل‌هایمختلف صورت گرفته است]57-54[. نقاط کوانتومی به علت خواص الکتریکی واپتیکی منحصر به فرد در ساخت وسایل اپتوالکترونیکی، مانند لیزرهای دیودی بسیار مورد توجه واقع شده‌اند.
تقریب جرم موثر
یکی از تقریب های بسیار مفید وکارآمد دربررسی ساختار الکترونی جامدات، تقریب جرم مؤثر بوده که از دیرباز مورد استفاده قرار گرفته است.می‌توان نشان داد که در یک بلور الکترون‌ها وحفره‌ها نسبت به میدان‌های الکتریکی ومغناطیسی اعمالی، طوری واکنش می دهند که گویی آن‌ها ذراتی هستند که جرمشان وابسته به جهت حرکت آن‌هاست.به این جرم، تانسور جرم موثر گفته می‌شود.
با فرض همسانگرد بودن بلور،حامل‌های بار رفتاری شبیه به ذره‌ی آزاد در خلأ اما با جرمی متفاوت دارند.الکترونی که دریک جامد حرکت می‌کند به دلیل پتانسیل تناوبی که حس می‌کند، رفتاری متفاوت با رفتار الکترون آزاد خواهد داشت. برای این الکترون می‌توان اثر برهم‌کنش با پتانسیل تناوبی و یا نیروی خارجی را به این صورت در جرم الکترون وارد نمود:
(1-1) E=(ħ^2 k^2)/〖2m〗^*
کهm^*جرم مؤثر الکترون است.
اگر الکترون آزادی داشته باشیم، انرژی کل فقط شامل انرژی جنبشی است و رابطه‌ی آن با k بردار موج و pتکانه به این صورت است:
(1-2) E=(ħ^2 k^2)/〖2m〗_0 = p^2/〖2m〗_0
که m_0 جرم الکترون آزاد است.
سرعت واقعی یک ذره، سرعت فاز بسته موج است،که به آن سرعت گروه می‌گویند ورابطه‌ی آن با انرژی و تکانه به صورت زیر است:
(1-3) v_g=dE/dp=1/ħ dE/dk
فرض می‌کنیم که نیرویی غیر از نیروی مربوط به پتانسیل دوره‌ای بلور به بسته‌ی موج اعمال شود.کار انجام شده روی بسته‌ی موج به این صورت است:
(1-4) dE=Fdx=Fv_g dt
با استفاده از رابطه‌ی(1-3)می‌توانیم عبارتی برای نیرو بدست آوریم.
F=1/v_g dE/dt=1/v_g dE/dk dk/dt
(1-5) F=d(ħk)/dt
باگرفتن مشتق زمانی از(1-3)شتاب به‌دست می‌آید.
(1-6) a=(dv_g)/dt=1/ħ d/dt (dE/dk)=1/ħ^2 ((d^2 E)/(dk^2 )) d(ħk)/dt
در نهایت جرم مؤثر به این صورت بدست می‌آید:
(1-7) F=m^* (dv_g)/dt
(1-8) m^*=1/(1/ħ^2 ((d^2 E)/(dk^2 )) )
معادله(1-7)همان قانون دوم نیوتون است؛با این تفاوت که جرم مؤثر به جای جرم واقعی ذره گذاشته شده است.در بسیاری ازنیم‌رساناها تعیین شکل سطوح انرژی نوارهای ظرفیت و رسانش، در نزدیکی لبه های نوار به کمک تشدید سیکلوترونی امکان پذیربوده‌است وتعیین شکل این سطوح معادل با تعیین تانسور جرم مؤثر است]58[.

هدف
هدف از این پژوهش، بررسی و مقایسه‌ی خواص نوری خطی و غیرخطی نقاط کوانتومی با مدل‌های مختلف پتانسیل محدودکننده است. برای این منظور از نرم‌افزارکامسول جهت محاسبه‌ی ساختار انرژی نقطه‌های کوانتومی استفاده می‌شود. در فصل دوم، به معرفی مختصر از نرم‌افزار کامسول می‌پردازیم. در فصل سوم، ابتدا جواب‌های تحلیلی و عددی ساختار انرژی را برای پتانسیل‌ها‌ی ارائه شده مقایسه می‌کنیمتا به دقت روش عددی به کار برده شده پی ببریم. سپسطیف انرژی مدل‌های مختلف پتانسیل نقطه‌ی کوانتومی کرویرا که با روش عددی (نرم‌افزار کامسول) حساب شده است با هم مقایسه می‌کنیم.
در فصل چهارم، با بهره‌گیری از قوانین حاکم بر مکانیک کوانتومی و با استفاده از فرمالیسم عملگر چگالی، پذیرفتاری الکتریکی، ضریب جذب و تغییرات ضریب شکست خطی و غیرخطی مرتبه‌ی سوم را برای یک سیستم دوترازه، به‌دست می‌آوریم و در نهایت در فصل پنجم این خصوصیات را برای مدل‌های پتانسیل ارائه شده به دست آورده ونتایج را با هم مقایسه می‌کنیم.
فصل دوم
معرفی نرم افزار COMSOL Multiphysics
مقدمه
با توجه به توسعه و پیشرفت فرایندهای جدید در علوم و مهندسی، مدل‌سازی در این علوم از اهمیت ویژه‌ای برخوردار می‌باشد. ترکیب کارهای آزمایشگاهی با تجزیه و تحلیل‌های تئوری در مدل‌های کامپیوتری باعث افزایش فهم مطلب گشته و همچنین هزینه را برای بررسی فرایندهای جدید کاهش داده است.
نرم‌افزار COMSOLMultiphysics محیطی پرقدرت برای مدل‌سازی و حل مسائل مختلف فیزیکی بر مبنای معادلات دیفرانسیل پاره‌ای (PDEs) می‌باشد.برای حل این معادلات،کامسول از روش المان محدود (FEM)17 استفاده می‌کند. این نرم‌افزار، آنالیز المان محدود را همراه با ساخت شبکه‌ی قابل تطابق وکنترل خطا، با استفاده از Solver های عددی مختلف انجام می‌دهد.
معادلات دیفرانسیل پاره‌ای مبنایی برای مدل سازی وحل گستره‌ی وسیعی از پدیده‌های علمی ومهندسی به شمار می‌رود.بنابراین ازCOMSOL Multiphysics درمحدوده‌ی گسترده‌ای از فیزیک می‌توان استفاده کرد.از جمله:صوت، الکترومغناطیس، دینامیک سیالات، فوتونیک،انتقال حرارت ومکانیک کوانتومی.
یکی از مواردی که می‌توان از این نرم‌افزار استفاده کرد، حل معادله‌ی شرودینگر است. معادله‌ی شرودینگر، یک معادله‌ی دیفرانسیل ویژه مقداری مرتبه دوم است که با شرایط مرزی مناسب قابل حل می‌باشد. روش‌های تحلیلی تنها برای بعضی از اشکال و پتانسیل‌های محدودکننده قابل استفاده است. در بقیه موارد از روش‌های عددی می‌توان بهره جست.
محیط نرم‌افزار COMSOL Multliphysics
در این بخش به توصیف قسمت‌های مهم و مراحل مدل‌سازی در محیط COMSOLMultiphysicsمی‌پردازیم.
مراحل شبیه‌سازی را می‌توان به 6 مرحله‌ی کلی تقسیم‌بندی کرد:
تعریف معادلات حاکم بر فرایند و انتخاب بعد فضایی سیستم
تعریف هندسه‌ی سیستم
تعیین شرایط مرزی
تعیین خصوصیات فیزیکی و شرایط عملیاتی سیستم
ساخت شبکه و حل سیستم مورد بررسی
پردازش پاسخ‌ها
در ابتدا بسته به مسئله‌ی مورد بررسی، ابعاد و هندسه‌ی سیستم و نوع Solverباید مشخص شود.کامسول با solverهای مختلف اقدام به حل مدل می‌کند. خود نرم‌افزار به طور خودکار بهترین Solver را با توجه به شرایط و هندسه مورد بررسی انتخاب می‌نماید. با این وجود امکان انتخاب و تعیین آن وجود دارد. Solver های مختلفی که برای حل معادلات پاره‌ای توصیف کننده مدل‌ها استفاده می‌شوند به این شرح است: حالت پایا، وابسته به زمان، ویژه‌مقداری و پارامتری.
تعیین ابعاد و هندسه
سیستم‌های مختصاتی و ابعاد فضایی در COMSOL Multiphysics 3/4عبارتند از:
مدل‌های با بعد فضایی یک بعدی ، دو بعدی و سه بعدی سیستم‌های مختصاتی x،y و z را بکار می‌برند.
در اشکال هندسی متقارن محوری یک بعدی ، مختصات پیش‌فرض rجهت شعاعی است و محور x مبین r می‌باشد.
در اشکال هندسی متقارن محوری دو بعدی ، محور x مبین جهت شعاعیr و محور yمبین ارتفاع zاست.
بعد از تعیین ابعاد و هندسه سیستم، ضرایب معادلات دیفرانسیل را با توجه به ابعاد مسئله و مختصاتی که مسئله در آن حل می‌شود، به دست آورده و در قسمت coefficient form PDE جایگذاری می‌کنیم.
بسته به نوع مسئله شرایط مرزی مناسب را برای مرزهای هندسه انتخاب می‌کنیم. برای مسئله‌ی ما (معادله‌ی شرودینگر) شرایط مرزی، پیوستگی تابع موج و مشتق آن در مرزها و میل تابع موج به صفر در فاصله‌های دور از نقطه کوانتومی است.
شکل‏2–1 نمایی ازشبکه بندی هندسه در نرم افزار کامسول
ساخت شبکه (meshing)
تقسیم‌بندی هندسه‌ی مدل مورد بررسی به اشکال کوچک و ساده ، شبکه بندی نامیده می‌شود. با تکمیل شدن مرحله‌ی تعریف هندسه سیستم مورد بررسی و تعیین خصوصیات و شرایط مرزی سیستم، باید هندسه مورد نظر، شبکه‌بندی شود. این عمل می‌تواند به صورت خودکار توسط خود نرم‌افزار یا با تعیین مشخصات و نوع آن توسط کاربر انجام می‌گیرد. شکل(3-1) شبکه بندی یک مدل را در هندسه‌ی متقارن دو بعدی نمایش می‌دهد.
در مواردی که حل همگرا نمی‌شود یا در مواردی که به نظر می‌رسد که نتیجه مطلوب نیست، باید مدل را با المان‌های ریزتری مجددا حل نمود.در این مرحله نرم‌افزار آماده حل مدل است.
شکل‏2–2 نمایی از نمودارهای سه بعدی. ازابزارهای نرم افزار کامسول برای رسم و پردازش داده‌ها
مرحله‌ی پس‌پردازش(Post processing)
در این قسمت، نرم‌افزار ابزار مختلفی برای رسم و پردازش مقادیر یا پارامترها در اختیار کاربر قرار می‌دهد. ابزاری مانند: نمودارهای دو بعدی، سه بعدی، نمودارهای کانتوری و انتگرال‌گیری سطحی و حجمی روی دامنه‌ها و مرزها. (شکل(2-2))
حل معادله‌ی شرودینگر در کامسول
برای محاسبه ی حالت های الکترونی نقطه ی کوانتومی باید معادله ی شرودینگر تک ذره ای را در تقریب جرم مؤثر حل کرد.
(2-1) -ℏ^2/2 (∇∙1/(m^* (r) ) ∇Ψ(r ⃗ ))+V(r))Ψ(r ⃗ )=EΨ(r ⃗ )
که ℏ=h/2π ثابت پلانک کاهش یافته، Ψ(r ⃗) تابع موج وE ویژه مقدار انرژی است وm^* (r ⃗ ) جرم مؤثر الکترون است که مقادیر آن برایGaAs و 〖Al〗_x 〖Ga〗_(1-x) As متفاوت می باشد.
V(r) تابع پتانسیلی است که ذره تحت تأثیر آن قرار داردو تنها به فاصله از مبدأ بستگی دارد و بنابراین در مسئله، تقارن سمتی وجود دارد. چنین مسائلی را در کامسول می‌توان با هندسه متقارن محوری دوبعدی (مختصات استوانه‌ای) حل نمود.
در مختصات استوانه‌ای به دلیل تقارن سمتی می‌توان تابع موج را به این صورت جداسازی کرد:
(2-2) Ψ(ρ,φ,z)=χ(z,ρ)Θ(φ)
که φ زاویه سمتی و ρ فاصله تا محور z است.
حال معادله شرودینگر را در مختصات استوانه‌ای می نویسیم.
(2-3) -ℏ^2/2 [∂/∂z (1/m^* ∂χ/∂z)+1/ρ ∂/∂ρ (ρ/m^* ∂χ/∂ρ)]Θ-ℏ^2/2 χ/(m^* ρ^2 ) (d^2 Θ)/(dφ^2 )+VχΘ=EχΘ
دو طرف معادله را بر رابطه‌یχ(z,ρ)/(m^* ρ^2 ) Θ(φ)تقسیم می کنیم
دو طرف معادله به دست آمده به متغیرهای مختلفی بستگی دارند و بنابراین، با مقدار ثابتی، که آن را m^2 می نامیم برابرند.
(2-4) 1/Θ (d^2 Θ)/(dφ^2 )=-m^2
و
(2-5) m^* ρ^2 ℏ^2/2 [∂/∂z (1/m^* (∂χ_m)/∂z)+1/ρ ∂/∂ρ (ρ/m^* (∂χ_m)/∂ρ)] 1/χ_m -m^* ρ^2 [V-E]=ℏ^2/2 m^2
جواب معادله‌ی (4-2)Θ=e^(⁡imφ) استکه با شرط تناوبی Θ(φ+2π)=Θ(φ) به این نتیجه می‌رسیمکه m یک عدد صحیح می‌باشد.پس فقط حل معادله دوم می‌ماند که می‌توان به این صورت بازنویسی کرد:
(2-6) -ℏ^2/2 [∂/∂z (1/m^* (∂χ_m)/∂z)+1/ρ ∂/∂ρ (ρ/m^* (∂χ_m)/∂ρ)]+(ℏ^2/(2m^* ) m^2/ρ^2 +V) χ_m=E_m χ_m,
این معادله مثالی از معادلات دیفرانسیل جزئی با ضرایب است که به این صورت نوشته می‌شود.
(2-7) ∇∙(-c∇u-αu+γ)+au+β∙∇u=d_a λu

و در آن ∇=[∂/∂z,∂/∂ρ]
ضرایب غیر صفر این معادله به این صورت می‌باشد:
c=ℏ^2/(2m^* ) , a=ℏ^2/(2m^* ) m^2/ρ^2 +V, β_ρ= -ℏ^2/(2m^* ) 1/ρ, d_a=1, λ=E_m
با جایگذاری ضرایب در نرم افزار و اعمال شرایط مرزی مناسب، ویژه مقادیر و ویژه حالت‌های انرژی برای نقطه‌ی کوانتومی کروی برای پتانسیل‌های مختلف بدست می‌آید.
فصل سوم
ساختار انرژی نقاط کوانتومی با مدل‌های مختلف
در این فصل ابتدا پارامترهای اساسی مربوط به گالیم آرسناید را مرور می‌کنیم و سپسبه محاسبه‌ی ویژه مقادیر انرژی حالت پایه نقاط کوانتومی کروی شکل با پتانسیل های مختلف می‌پردازیم و جواب‌های تحلیلی را با مقادیر محاسبه شده توسط نرم افزارکامسول مقایسه می کنیم.
گالیم آرسناید
گالیم آرسناید یک نیم‌رسانایترکیبی ازگروه‌های 3-5است.این ماده به طور فزاینده‌ای درفن‌آوری امروزی اهمیت پیدا کرده است. ترانزیستورهای ساخته شده از GaAs از مدت زمان پاسخگویی کمتری نسبت به ترانزیستور‌های سیلیکونی برخوردار هستند.
گالیم آرسناید دارای دو اتم مختلف در موقعیت‌های(0, 0, 0) و(1/4 ,1/4 ,1/4) است. اینساختار از دو شبکه‌ی میان‌وجهی که در امتداد]1،1،1[ از یکدیگر به اندازه‌ی یک چهارم قطر جدا شده‌اند ، تشکیل شده است.GaAs یک نیم‌رسانای گاف مستقیم با ثابت شبکه‌ی 5653/0 نانومتر می‌باشد. در جدول صفحه‌ی بعد برخی از پارامتر‌های GaAs و〖Al〗_x 〖Ga〗_(1-x) Asبرای دمای اتاق آمده است]60-59[.
جدول 3-1 پارامتر‌های اساسی GaAs و 〖Al〗_x 〖Ga〗_(1-x) As
نامعلامت اختصاریGaAs〖Al〗_x 〖Ga〗_(1-x) Asجرم موثر
الکترونm^*0/632m_0(0/632+0/856x+0/231x^2 ) m_0گاف انرژیE_g1/423ev(1/423+1/594x+x(1-x))ثابت
دی الکتریکε13/1813/18-3/12x
x کسر مولی آلومینیوم (0>x>1)، m_0 جرم الکترون است.
محاسبه‌ی انرژی نقطه‌ی کوانتومی کروی
پتانسیل بی‌نهایت
(3-1) V(r)={█(0 r≤ R @∞ r≥R )┤
در تقریب جرم موثر هامیلتونی مربوط به نقطه کوانتومی GaAs/〖AL_X Ga〗_(1-X) As به این صورت است:
(3-2) H=〖-ℏ^2 ∇〗^2/〖2m〗^* +V(r)
در رابطه بالا m^* جرم موثر الکترون، R شعاع نقطه کوانتومی و r فاصله الکترون تا مرکز نقطه‌ی کوانتومی کروی می‌باشد.
واضح است که تابع موج خارج کره صفر است و در داخل کره باید در شرایط مرزی فیزیکی،(تابع موج درr=0، خوش رفتار و در r=R باید صفر باشد) صدق کند.
تابع موج را به این صورت جداسازی می کنیم:
(3-3) (r,θ,φ)=R_(n,l) (r) Y_(l,m) (θ,φ)
قسمت شعاعی تابع موج در داخل کره، در معادله‌ی زیر صدق می کند:
(3-4) (d^2 R_(n,l))/(dz^2 )+2/z (dR_(n,l))/dz+[1-(l(l+1))/z^2 ] R_(n,l)=0
که در آن k^2=2mE/ℏ^2 و z=kr .
جواب این معادله‌ی دیفرانسیل مرتبه‌ی دوم، توابع بسل کروی هستند که به این صورت نوشته می‌شوند:
j_l (z)=z^l (-1/z d/dz)^l (sin⁡z/z),
y_l (z)=〖-z〗^l (-1/z d/dz)^l (cos⁡z/z) (3-5)
با توجه به شرایط مرزی در می‌یابیم که y_l (z) جواب غیرفیزیکی مسئله است و بنابراین تنها j_l (z) می‌ماند.
برای ارضای شرط مرزی دوم z=kR باید معادل یکی از صفرهای j_l (z) باشد.

با تعریف z_nlبه عنوان n-امین صفر j_l (z) داریم.
(3-6) ka=z_(n,l)
بنابراین ترازهای انرژی به این صورت به دست می آید:
(3-7) E_(n,l)=z_(n,l)^2 ℏ^2/(2mR^2 )
جدول صفحه‌ی بعد طیف انرژی نقطه‌ی کوانتومی با پتانسیل بی‌نهایت را برای گالیم‌آرسناید به روش تحلیلی(رابطه‌ی(3-7)) و همچنین نرم افزار کامسول نشان می‌دهد .می‌بینیم که جواب‌ها دقت بسیار بالایی دارند.
جدول 3-2 مقایسه‌ی جواب‌های تحلیلی و عددی برای پتانسیل بی‌نهایت
درصد خطاانرژی (meV)E_nlروش تحلیلیروش عددی”26/1″×〖”10″ 〗^(-“4″ )9985/2379988/237E_10″107/4″×〖”10” 〗^(-“4″ )8838/4868858/486E_11″248/1″×〖”10” 〗^(-“5″ )0169/8010168/801E_12″68/1″×〖”10” 〗^(-“4” )9968/9519952/951E_20
درصد خطا به این صورت محاسبه شده است :
%Error=|E_N-E_A |/E_A *100
کهE_A انرژی محاسبه شده به روش تحلیلی وE_N انرژی محاسبه شده به روش عددی است.
پتانسیل پله ای
(3-8) V(r)={█(0 r≤ R @V_0 r≥R )┤
انرژی حالت پایه‌ی سیستم از حل معادله شرودینگر به‌دست می‌آید:
(3-9) H_1 ψ_1=E_1 ψ_1
معادله‌‌ی بالا به طور دقیق با تابع موج زیر حل می‌شود:
(3-10) ={█((N_1 sin⁡(αr))/r r≤R @(N_1 sin⁡(αr) exp⁡(βR)exp⁡(-βr))/r r≥R )┤
در رابطه فوقN_1 ضریب نرمالیزاسیون می‌باشد.

دو پارامتر α و β به شکل زیر به E_1 و V(r) مربوط می‌شوند:
α=√(〖2m〗^* E_1 )
β=√(〖2m〗^* (V(r)-E_1 ) ) (3-11)
دو شرط مرزی زیر را به توابع موج اعمال می‌کنیم:
1) ψ_1 ├ (r)┤|_(r=R)=ψ_2 ├ (r)┤|_(r=R)
2)├ (∂ψ_1 (r))/∂r┤|_(r=R) =├ (∂ψ_2 (r))/∂r┤|_(r=R) (3-12)
ψ_1 (r) و ψ_2 (r) به ترتیب توابع موج در داخل و خارج نقطه کوانتومی می‌باشند.
با اعمال شرط اول خواهیم داشت:
(3-13) (N_1 sin(αr))/R=(N_1 sin(αr)exp(βR)exp(-βr))/R
همچنین با اعمال شرط دوم به رابطه زیر می‌رسیم:
(3-14) N_1 αcos(αr)-(N_1 sin(αr))/R^2 =(〖-N〗_1 βsin(αR))/R-(N_1 sin(αR))/R^2
در نتیجه خواهیم داشت:
(3-15)



قیمت: تومان

دسته بندی : مقاله و پایان نامه

دیدگاهتان را بنویسید